jueves, 18 de febrero de 2010

FIGURAS DISTINGUIDA CON SUS APORTES EN MATEMATICA

FIGURAS DISTINGUIDA CON SUS APORTES


Arquímedes de Siracusa (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.) Arquímedes menciona el nombre de su padre, Phidias, un astrónomo sobre el que nada se sabe. Plutarco escribió en su obra Vidas paralelas que Arquímedes estaba emparentado con el tirano Hierón II de Siracusa. Fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.

Generalmente, se considera a Arquímedes el más grande matemático de la antigüedad, y uno de los más grandes de la historia. Usó el método de exhausción para calcular el área bajo el arco de una parábola con la sumatoria de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi. También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió c. 212 a. C. durante la Segunda Guerra Púnica, cuando las fuerzas romanas al mando del general Marco Claudio Marcelo capturaron la ciudad de Siracusa después de un asedio de dos años de duración. Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes fueron "No molestes mis círculos", en referencia a los círculos en el dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando lo interrumpió el soldado romano. La frase es a menudo citada en latín como "Noli turbare círculos meos", pero no hay evidencia de que Arquímedes pronunciara esas palabras y no aparecen en los relatos de Plutarco.
La tumba de Arquímedes tenía una escultura que ilustraba su descubrimiento matemático favorito, que consistía en una esfera y un cilindro de la misma altura y diámetro. Arquímedes había probado que el volumen y el área de la esfera son dos tercios de los del cilindro, incluyendo sus bases. En el año 75 a. C., 137 años después de su muerte, el orador romano Cicerón estaba sirviendo como cuestor en Sicilia y escuchó historias acerca de la tumba de Arquímedes, pero ninguno de los locales fue capaz de decirle dónde se encontraba. Eventualmente, encontró la tumba cerca de la puerta de Agrigento en Siracusa, en una condición descuidada y poblada de arbustos. Cicerón limpió la tumba, y así fue capaz de ver la talla y leer algunos de los versos que le habían escrito en ella.

MATEMÁTICAS
Si bien Arquímedes es conocido a menudo por su faceta de inventor, también realizó contribuciones al campo de las matemáticas. Sobre el particular, Plutarco dijo de él que "había dedicado todo su afecto y ambición a aquellas especulaciones más puras en las que no puede haber referencia a las vulgares necesidades de la vida."


Arquímedes utilizó el método de exhausción para conseguir el valor aproximado del número π.

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo (reductio ad absurdum), era capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método de exhausción, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 310/71 (aproximadamente 3,1408) y 31/7 (aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π. También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo. En su obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es conocido como la propiedad de Arquímedes de los números reales.
En su obra sobre la Medición del Círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de la raíz cuadrada de 3 de entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351/780 (aproximadamente 1,7320512). El valor real se ubica aproximadamente en 1,7320508, por lo que la estimación de Arquímedes resultó ser muy exacta. Sin embargo, introdujo este resultado en su obra sin explicación de qué método había utilizado para obtenerlo.

Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico de la figura superior es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito de la figura inferior.
En su obra sobre La cuadratura de la Parábola, Arquímedes probó que el área definida por una parábola y una línea recta equivalía exactamente a 4/3 el área del correspondiente triángulo inscrito, tal y como se puede observar en la figura de la derecha. Para obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica infinitesimal con una razón común de 1/4:


El primer término de esta suma equivale al área del triángulo, el segundo sería la suma de las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie infinitesimal 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +..., cuya suma se demuestra que equivale a 1/3.

En otra de sus obras Arquímedes de enfrentó al reto de intentar calcular el número de granos de arena que podía contener el universo. Para hacerlo, desafió la idea de que el número de granos fuera tan grande como para poder ser contados. Escribió:

Para poder afrontar el problema, Arquímedes diseñó un sistema de cálculo basado en la miríada. Se trata de una palabra que procede del griego μυριάς (murias) y que servía para hacer referencia al número 10.000. Propuso un sistema en el que se utilizaba una potencia de una miríada de miríadas (100 millones) y concluía que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo sería de 8×1063.

TALES DE MILETO (h. 639 - h. 546 A.C.) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia, y el fundador de la escuela jonia de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo) y tuvo como discípulo y protegido a Pitágoras. Es aparte uno de los más grandes astrónomos y matemáticos de su época, a tal punto que era una lectura obligatoria para cualquier matemático en la Edad Media y contemporánea. Sus estudios abarcaron profundamente el área de la Geometría, Álgebra lineal, Geometría del espacio y algunas ramas de la Física, tales como la Estática, Dinámica y Óptica. Su vida está envuelta en un halo de leyenda. Fue el primer filósofo Jónico. Afirmo que el principio de todas las cosas es el agua.

En Matemáticas fue un gran pionero. Hasta entonces, los logros de egipcios o babilonios se basaban en resolver los problemas geométricos sin un proceso lógico deductivo, es decir, se fundamentaban en la observación, la cual es imprescindible en las ciencias físicas pero no así en las matemáticas. Tales de Mileto fue el primero en abstraerse de las cosas tangibles y estudiar los ángulos, las líneas y las superficies como elementos teóricos y no a partir de los objetos cotidianos. Gracias a este método podemos aplicar parte de los avances matemáticos a nuestra vida para obtener resultados precisos. Tales, de este modo, enunció teoremas muy avanzados para su época, como que todo diámetro divide al círculo en dos partes iguales o que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. También fue el primero en demostrar enunciados matemáticos partiendo de hipótesis, es decir, afirmaciones que consideran verdaderas, por ello, se cataloga como inventor de las matemáticas deductivas.


PITÁGORAS DE SAMOS (582 A. C. - 507 A. C)

Pitágoras nació en la isla de Samos en el año 582 a. C. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Mitilene a estudiar con Ferécides de Siros y tal vez con su padre, Badio de Siros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a. C., en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida (excepto impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron en Tarento donde se fundó su tercera escuela.

Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron de haber influido a Pitágoras en su juventud. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.

La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.

APORTES A LA MATEMÁTICAS

Los pitagóricos atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras por lo que es difícil determinar con exactitud cuales resultados son obra del maestro y cuales de los discípulos. Los teoremas de Euclides son lo que generalmente aprnden la escuela moderna.

Entre los descubrimientos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras están:

• Una prueba del teorema de Pitágoras. Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacía un tiempo considerable), sí fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto).
• Ternas pitagóricas. Una terna pitagórica es una terna de números enteros (a, b, c) tales que a² + b² = c². Aunque los babilonios ya sabían cómo generar tales ternas en ciertos casos, los pitagóricos extendieron el estudio del tema encontrando resultados como cualquier entero impar es miembro de una terna pitagórica primitiva. Sin embargo, la solución completa del problema no se obtuvo hasta el siglo XIII cuando Fibonacci encontró la forma de generar todas las ternas pitagóricas posibles.
• Sólidos regulares. Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares.
• Números perfectos. Estudiaron los números perfectos, es decir aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener ciertos números perfectos pares.
• Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico atribuye a Pitágoras haber descubierto el par amigable (220, 284).
• Números irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca el descubrimiento de los números irracionales.
• Medias. Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números y obtuvieron la relación \frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}.
• Números figurados. Un número es figurado (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de guijarros se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3, etc.

François Viète

François Viète fue un matemático francés (Fontenay-le-Comte, 1540 - París, 1603).

Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación con letras.

François Viète también fue conocido en su época como súbdito del rey fiel y competente. Fue consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.

Francisco Vieta, francés, muere en París el 1603. Puede considerarse como fundador del Algebra moderna. Representó mediante letras todas las cantidades, tanto conocidas como incógnitas, revisó en un nuevo aspecto el Algebra de los griegos y de los árabes e hizo varios descubrimientos en Algebra y Trigonometría.

Trabajos matemáticos
Primeros trabajos
Entre 1564 y 1568, se sumerge en trabajos de astronomía y trigonometría y redacta un tratado que quedará inédito: Harmonicon Cœleste.
En 1571, publica una obra de trigonometría, el Canon mathematicus, en el que presenta numerosas fórmulas relacionadas con senos y cosenos. Emplea de modo poco habitual para la época los números decimales. Se trata de las primeras tablas trigonométricas elaboradas desde que lo hicieran los matemáticos árabes en el siglo X.
La logística especiosa
Los matemáticos del Renacimiento se sentían continuadores de las matemáticas griegas, que son fundamentalmente geometría. En la época de Viète el álgebra, derivada de la aritmética, se percibe sólo como un catálogo de reglas. Algunos matemáticos, entre los que se cuenta Cardan en 1545, utilizaban razonamientos geométricos para justificar métodos algebraicos.
Así, la geometría parecía ser un instrumento seguro y potente para resolver cuestiones algebraicas, pero la utilización del álgebra para resolver problemas geométricos parecía mucho más problemática. Y, sin embargo, ésa era la propuesta de Viète.
A partir de 1591, Viète, que era muy rico, empezó a publicar a sus expensas la exposición sistemática de su teoría matemática, a la que llama logística especiosa (de specis: símbolo) o arte del cálculo sobre símbolos.
La logística especiosa procede en tres tiempos:
• En un primer tiempo, se anotan todas las magnitudes presentes, así como sus relaciones, utilizando un simbolismo adecuado que Viète había desarrollado. A continuación, se resume el problema en forma de ecuación. Viète llama a esta etapa la zetética. Escribe las magnitudes conocidas como consonantes (B, D, etc.) y las magnitudes desconocidas como vocales (A, E, etc.).
• El análisis porístico permite a continuación transformar y discutir la ecuación. Se trata de encontrar una relación característica del problema, la porisma, a partir de la cual se pueda pasar a la siguiente etapa.
• En la última etapa, el análisis rético, volvemos al problema inicial del que exponemos una solución por medio de una construcción geométrica basada en la porisma.
Entre los problemas que Viète aborda con este método, hay que citar la resolución completa de las ecuaciones de segundo grado de forma ax2 + bx = c y de las ecuaciones de tercer grado de forma x3 + ax = b con a y b positivos (Viète pone los cambios de variable sucesivos: y Y = X3 llevándolo de ese modo a una ecuación de segundo grado).
Posteridad de la logística especiosa
La logística especiosa tuvo una posteridad muy limitada. Viète no era el primero que proponía la notación de cantidades desconocidas con letras. Además, sus notaciones matemáticas son muy pesadas, y su desarrollo algebraico, que no consigue separar con claridad álgebra y geometría hace necesario un largo desarrollo en los problemas más complejos. Su álgebra se olvidó pronto, apartada por la geometría cartesiana.
Sin embargo fue el primero que introdujo la notación para los datos de un problema (y no sólo para las incógnitas), y se dio cuenta de la relación existente entre las raíces y los coeficientes de un polinomio.
La principal originalidad de Viète consistió en afirmar el interés de los métodos algebraicos y en tratar de hacer una exposición sistemática de dichos métodos. No dudó en afirmar que gracias al álgebra se podrán resolver todos los problemas (Nullum non problema solvere).
En 1593, publicó su octavo libro de las respuestas variadas en la que vuelve sobre los problemas de la trisección del ángulo (que reconoce está unido a una ecuación de tercer grado), de la cuadratura del círculo, de la construcción del heptágono regular, etc.
El mismo año, partiendo de consideraciones geométricas y por medio de cálculos trigonométricos que dominaba, descubre el primer producto infinito de la historia de las matemáticas que daba una expresión de π:

Proporcionó 10 decimales exactos de π recurriendo al método de Arquímedes que, ayudándose de un polígono de 393.216 lados ( ), es claramente más sencillo que múltiples extracciones de raíces de raíces.


ERATÓSTENES DE CIERNE

Nacido en Cirene (actual Shahhat, Libia), era hijo de Aglaos, según Suidas, o de Ambrosio, según otros escritores. Estudió en Alejandría y, durante algún tiempo, en Atenas y fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco, y también gran amigo de Arquímedes. En 236 a. C. Ptolomeo Evergetes le llamó a Egipto para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días, ocurrido durante el gobierno de Ptolomeo Epífanes. Suidas afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de ochenta años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a la edad de ochenta y dos, y Censorino sostiene que falleció cuando tenía ochenta y dos.
Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, fue apellidado Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón, y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta (por β, la segunda letra del alfabeto griego), porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.

Trabajó en geometría y números primos. Es más recordado su aporte en los números primos. Eratóstenes también hizo sorprendentemente una medida exacta de la circunferencia de la Tierra como 250000 grados, la distancia al sol como 804000000 grados y la distancia a la luna como 780000 grados. Media la inclinación del eje de la Tierra con gran exactitud obtuvo el valor de 23ª51’15’’. Compiló un catálogo de las estrellas en el cual contenía 675 estrellas. Eratóstenes quedó ciego en su vejez y decidió cometer suicidio muriendo de hambre.

A Eratóstenes se le atribuye la invención, hacia 255 adC, de la esfera armilar que aún se empleaba en el siglo XVII. Aunque debió de usar este instrumento para diversas observaciones astronómicas, sólo queda constancia de la que le condujo a la determinación de la oblicuidad de la eclíptica. Determinó que el intervalo entre los trópicos (el doble de la oblicuidad de la eclíptica) equivalía a los 11/83 de la circunferencia terrestre completa, resultando para dicha oblicuidad 23º 51' 19", cifra que posteriormente adoptaría el astrónomo Claudio Ptolomeo.
Según algunos historiadores, Eratóstenes obtuvo un valor de 24º, debiéndose el refinamiento del resultado hasta 11/83 al propio Ptolomeo. Además, según Plutarco, de sus observaciones astronómicas durante los eclipses dedujo que la distancia al Sol era de 804.000.000 estadios, la distancia a la Luna 780.000 estadios y, según Macrobio, que el diámetro del Sol era 27 veces mayor que el de la Tierra. Realmente el diámetro del Sol es 109 veces el de la Tierra y la distancia a la Luna es casi tres veces la calculada por Eratóstenes, pero el cálculo de la distancia al Sol, admitiendo que el estadio empleado fuera de 185 metros, fue de 148.752.060 km, muy similar a la unidad astronómica actual. A pesar de que se le atribuye frecuentemente la obra Katasterismoi que contiene la nomenclatura de 44 constelaciones y 675 estrellas, los críticos niegan que fuera escrita por él, por lo que usualmente se designa como Pseudo-Eratóstenes a su autor.
En el solsticio de verano los rayos solares inciden perpendicularmente sobre Siena. En Alejandría, más al norte, midiendo la altura de un edificio y la longitud de la sombra que proyecta se puede determinar el ángulo formado con el plano de la eclíptica, en el que se encuentran el Sol y la ciudad de Siena, ángulo que es precisamente la diferencia de latitud entre ambas ciudades. Conocida ésta basta medir el arco de circunferencia y extrapolar el resultado a la circunferencia completa (360º).

Sin embargo, el principal motivo de su celebridad, es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico además de las nociones de latitud y longitud ya introducidas, al parecer por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico, y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría; según Cleomedes, para el cálculo de dicha cantidad Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (Un Proto-cuadrante solar) . Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios.

También se afirma que Eratóstenes para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.

Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio de 185 m, el error cometido fue de 6.616 kilómetros (alrededor del 17%), sin embargo hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 km, frente a los 40.008 km considerados en la actualidad, es decir, un error menor del 1%.
Acerca de la exactitud de los cálculos realizados por Eratóstenes se han escrito varios trabajos; en uno de ellos, Dennis Rawlins argumenta que el único dato que Eratóstenes obtuvo directamente fue la inclinación del cenit de Alejandría, con un error de 7' (7 minutos de arco), mientras que el resto, de fuentes
desconocidas, resultan ser de una exactitud notablemente superior. 150 años más tarde, Posidonio rehizo el cálculo de Eratóstenes obteniendo una circunferencia sensiblemente menor, valor que adoptaría Ptolomeo y en el que se basaría Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente; quizá con las mediciones de Eratóstenes el viaje no se hubiera llegado a realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, y seguramente sea ése el error que más ha influido en la historia de la humanidad.
El geómetra no se limitó a hacer este cálculo, sino que también llegó a calcular la distancia Tierra-Sol en 804 millones de estadios (139.996.500 km) y la distancia Tierra-Luna en 708.000 estadios (123.280,500 km). Estos errores son admisibles, debido a la carencia de tecnología adecuada y precisa.
Sobre geometría conocemos por el título (pues ningún ejemplar ha sobrevivido hasta nuestros días) una obra suya citada por Pappus como uno de los grandes libros de geometría, De locis ad medietates. Se conserva también una carta a Ptolomeo Evergetes sobre la duplicación del cubo citada por Eutocio en su comentario a la obra de Arquímedes y contribuyó a la aritmética inventando un método conocido como la criba de Eratóstenes para determinar números primos que nos ha llegado a través de la Introducción a la Aritmética de Nicomedes.
También fue importante su contribución a la geografía, palabra de su invención, que antes de Dicearco, Eudoxio y el propio Eratóstenes constituía una amalgama de conocimientos dispersos en numerosas obras de viajeros y cronistas. Eratóstenes supo recoger todos estos tesoros que se encontraban en la Biblioteca de Alejandría, conocimientos procedentes en su mayoría de las conquistas de Alejandro Magno, para componer una obra sistemática titulada Geographika, dividida en tres volúmenes: el primero pasaba revista crítica a sus predecesores y exponía las investigaciones acerca de la forma de la Tierra, que él creía una esfera inmóvil; el segundo contenía lo que hoy se llama geografía física, incluyendo el ensayo acerca del tamaño de la Tierra antes comentado; y el último libro versaba sobre geografía política y en el se incluían las descripciones de las comarcas conocidas tomadas de los relatos de viajeros y geógrafos precedentes. Tal como hiciera Dicearco antes, para situar las ciudades tiró una línea paralela al ecuador desde las columnas de Hércules (estrecho de Gibraltar) hasta el extremo oriental de Asia, dividiendo las tierras habitadas en dos partes, y trazó el meridiano por Alejandría y Siena. La obra, según parece, contenía un mapa en el que se indicaban las ciudades y accidentes geográficos, ríos, montañas, lagos, etc. Esta obra no está exenta de polémica ya que Marciano acusó a Eratóstenes de haber plagiado el tratado de Timóstenes Sobre los puertos, lo que desmiente Estrabón cuando afirma que si bien Eratóstenes concedía gran valor a la obra de Timóstenes, en no pocas ocasiones no compartía sus opiniones. Los fragmentos entonces disponibles fueron recopilados y publicados con el título Eratosthenica por Gottfried Bernhardy (Berlín, 1822) junto con otras obras de Eratóstenes.

La obra poética de Eratóstenes comprende dos obras Erigone, elogiada repetidamente por Longino, y Hermes, la más conocida, poema de asunto astronómico y geográfico que trata de la forma de la Tierra, de su temperatura, de los diferentes climas y de las constelaciones. Escribió varios tratados sobre filosofía moral y se le atribuyen, sin certeza, otras obras filosóficas. Sus producciones históricas estuvieron ligadas íntimamente a las matemáticas, siendo su obra más importante en esta disciplina la Cronografía, obra en la que recoge las fechas de los acontecimientos literarios y políticos más importantes; se cree que Las Olimpiadas, citadas por Diógenes Laercio y Ateneo, formaban parte de la Cronografía. También escribió un tratado Sobre la antigua comedia ática, del que son fragmentos Arjitectonicos y Skenographicos en los que trató de la decoración, el vestuario, la declamación y el argumento de obras de Aristófanes y Cratino entre otros. También estudió la obra de Homero y escribió una biografía sobre la vida del poeta que no ha llegado hasta nuestros días. En la citada Eratosthenica, Bernhardy compiló la lista de todas las obras atribuidas a Eratóstenes, así como los fragmentos de sus escritos entonces conocidos exceptuando Katasterismoi.

Un cráter de la Luna rinde homenaje a Eratóstenes, llevando su nombre. Inventó el primer reloj solar moderno, al que denominó Skaphe.



René Descartes (n. 31 de marzo, 1596 - m. 11 de febrero, 1650), fue un filósofo, matemático y científico francés.

Descartes nació el 31 de marzo en el año de 1596 en La Haye (Touraine, cerca de Poitiers, Francia) en el seno de una familia de abogados, comerciantes y médicos. Fue el tercer hijo del jurista Joaquín Descartes y de Jeanne Brochard. Aunque René pensaba que su madre murió al nacer él, lo cierto es que murió un año después, durante el parto de un hermano que tampoco sobrevivió. Tras la muerte de su madre, él y sus hermanos fueron educados por su abuela, pues su padre, consejero del Parlamento de Bretaña, debía ausentarse por largas temporadas. Fue alumno del Collège Royal de La Flèche, de los jesuitas, entre 1604 y 1612.

La educación en La Flèche le proporcionó, durante los cinco primeros años, una sólida introducción a la cultura clásica, habiendo aprendido latín y griego en la lectura de autores como Cicerón, Horacio y Virgilio, por un lado, y Homero, Píndaro y Platón, por el otro. El resto de la enseñanza estaba allí muy basada en textos filosóficos de Aristóteles (Organon, Metafísica, Ética a Nicómaco), acompañados por comentarios de jesuitas (Suárez, Fonseca, Toledo, quizá Vitoria) y otros autores españoles (Cayetano). Conviene destacar que Aristóteles era entonces el autor de referencia para el estudio, tanto de la física, como de la biología. El plan de estudios incluía también una introducción a las matemáticas (Clavius), tanto puras como aplicadas: astronomía, música, arquitectura. Siguiendo una extendida práctica medieval y clásica, en esta escuela los estudiantes se ejercitaban constantemente en la discusión (disputatio).

A su regreso del Colegio a los 18 años, René Descartes ingresó en la Universidad de Poitiers para estudiar Derecho y posiblemente, algo de medicina. Para 1616 Descartes cuenta con los grados de Bachiller y Licenciado.

En 1619, en Breda, conoció a Isaac Beeckman, quien intentaba desarrollar una teoría física corpuscularista, muy basada en conceptos matemáticos. El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por las matemáticas y la física. Pese a los constantes viajes que realizó en esta época, Descartes no dejó de formarse y en 1620 conoció en Ulm al entonces famoso maestro calculista alemán J. Faulhaber. Él mismo refiere que inspirado por una serie de sueños, en esta época vislumbró la posibilidad de desarrollar una "ciencia maravillosa". El hecho es que, probablemente estimulado por estos contactos, Descartes descubre el teorema denominado de Euler sobre los poliedros.

A pesar de discurrir sobre los temas anteriores, Descartes no publica entonces ninguno de estos resultados. Durante su estancia más larga en París, Descartes reafirma relaciones que había establecido a partir de 1622 con otros intelectuales, como Marin Mersenne y Guez de Balzac, así como con un círculo conocido como "los libertinos". En esta época sus amigos propagan su reputación, hasta el punto de que su casa se convirtió entonces en un punto de reunión para quienes gustaban intercambiar ideas y discutir; con todo ello su vida parece haber sido algo agitada, pues en 1628 libra un duelo, tras el cual comentó que “no he hallado una mujer cuya belleza pueda compararse a la de la verdad”. El año siguiente, con la intención de dedicarse por completo al estudio, se traslada definitivamente a los Países Bajos, donde llevaría una vida modesta y tranquila, aunque cambiando de residencia constantemente para mantener oculto su paradero. Descartes permanece allí hasta 1649, viajando sin embargo en una ocasión a Dinamarca y en tres a Francia.

La preferencia de Descartes por Holanda parece haber sido bastante acertada, pues mientras en Francia muchas cosas podrían distraerlo y había escasa tolerancia, las ciudades holandesas estaban en paz, florecían gracias al comercio y grupos de burgueses potenciaban las ciencias fundándose la academia de Ámsterdam en 1632. Entre tanto, el centro de Europa se desgarraba en la Guerra de los Treinta Años, que terminaría en 1648.

En septiembre de 1649 la Reina Cristina de Suecia le llamó a Estocolmo. Allí murió de una neumonía el 11 de febrero de 1650. Descartes aceptó la invitación de la reina Cristina para trabajar en su corte como filósofo residente y tutor de la propia soberana. La encomienda, que en principio parecía grata, pues la alumna era inteligente y aplicada, resultó fatal para René al verse obligado a iniciar las lecciones a las cinco de la mañana; siendo un hombre habituado a dormir diez horas diarias y a meditar y leer en la cama no soportó la prueba; el frío polar del invierno de Estocolmo y las desveladas cobraron su vida a los cuatro meses de su llegada a Suecia, con 53 años de edad.

Actualmente se pone en duda si la causa de su muerte fue la neumonía. En 1980, el historiador y médico alemán Eike Pies halló en la Universidad de Leyden una carta secreta del médico de la corte que atendió a Descartes, el holandés Johan Van Wullen, en la que describía al detalle la agonía. Curiosamente, los síntomas presentados –náuseas, vómitos, escalofríos– no eran propios de una neumonía. Tras consultar a varios patólogos, Pies concluyó en su libro "El homicidio de Descartes, documentos, indicios, pruebas", que la muerte se debía a envenenamiento por arsénico. La carta secreta fue enviada a un antepasado del escritor, el holandés Willem Pies.
En el año de 1676 se exhumaron los restos de Descartes; puestos en un ataúd de cobre se trasladaron a París para sepultarlos en la iglesia de Ste. Geneviève-du-Mont; removidos nuevamente durante el transcurso de la Revolución Francesa, los restos fueron colocados en el Panthéon, la basílica dedicada a los pensadores y escritores de la nación francesa; nuevamente, en 1819, los restos de René Descartes cambiaron de sitio de reposo siendo llevados esta vez a la iglesia de St. Germain-des-Prés donde actualmente se hallan.

Como científico, Descartes produjo al menos dos importantes revoluciones. En matemáticas simplificó la notación algebráica y creó la geometría analítica. Fue el creador del sistema de coordenadas cartesianas, lo cual abrió el camino al desarrollo del cálculo diferencial e integral por el matemático y físico inglés Sir Isaac Newton y el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz. Inventó la regla del paralelogramo, que permitió combinar, por primera vez, fuerzas no paralelas. En química, el sistema propuesto por Descartes consiguió desplazar al aristotélico, al proporcionar una explicación unificada de innumerables fenómenos de tipo magnético, óptico, en astronomía, en fisiología orgánica. De este modo sentó los principios del determinismo físico y biológico, así como de la psicología fisiológica.

Su primera obra fue "Reglas para la dirección del espíritu" (ca. 1628) (póstuma). Luego escribió "El mundo" o "Tratado de la luz" y "El hombre". En 1637 publicó el Discurso del método seguido de tres ensayos: "Dióptrica", "Geometría" y "Meteoros". Estas se consideran sus primeras obras de evidente importancia. En 1641 publicó las Meditaciones metafísicas, acompañadas de un conjunto de Objeciones y respuestas que amplió y volvió a publicar en 1642. Hacia 1642 puede fecharse también un diálogo, "La búsqueda de la verdad mediante la razón natural" (póstumo). En 1647 aparecen los "Principios de filosofía", que Descartes idealmente habría destinado a la enseñanza. En 1648 Descartes le concede una entrevista a Frans Burman, un joven estudiante de teología, quien le hace interesantes preguntas sobre sus textos filosóficos. Burman registra detalladamente las respuestas de Descartes, y éstas usualmente se consideran genuinas. En 1649 publica un último tratado, "Las pasiones del alma", sin embargo aún pudo diseñar para Cristina de Suecia el reglamento de una sociedad científica: su única norma es que el turno de la palabra corresponda rotativamente a cada uno de los miembros, en un orden arbitrario y fijo.

De Descartes también se conserva una copiosa correspondencia, que en gran parte canalizaba a través de su amigo Mersenne, así como algunos esbozos y opúsculos que dejó inéditos. La edición de referencia de sus obras es la que prepararon Charles Adam y Paul Tannery a fines del S. XIX e inicios del XX, y a la que los comentaristas usualmente se refieren como AT.

El primer contacto con la filosofía cartesiana debiera hacerse mediante la lectura del Discurso del método (es la principal obra escrita por René Descartes y un texto que rompe con la escolástica propia de la Edad Media, por ello ha sido considerada una obra fundamental de la filosofía occidental con implicaciones para el desarrollo de la filosofía y de la ciencia). Descartes explica los caminos que ha seguido para llegar a la verdad. No porque sea más listo que otros, sino porque ha sabido aplicar bien el método, que es lo principal. De ahí que encontremos utilizado el término camino por Paul Ricoeur, en "Caminos del reconocimiento", donde al igual que Descartes, Ricoeur, a través de un camino va ilustrándonos de dónde tuvo que detenerse para llegar a saber lo que sabe. En "Discurso del Método" pretende mostrar el camino que siguió para conducir bien la razón, de ahí que se le de el nombre de racionalista. Comenta que la lectura de los textos ayudan a formar el espíritu. Ya que por su formación leyó muchos libros en muchas lenguas. Reconoce el papel de las matemáticas para disminuir el trabajo de los hombres y las admira por su exactitud. Los libros "contienen muchas enseñanzas y exhortaciones a la virtud que son muy útiles; que la teología enseña a ganar el cielo; que la filosofía da medios para hablar con verosimilitud de todas las cosas y hacerse admirar de los menos sabios; que la jurisprudencia, la medicina y las demás ciencias dan honores y riquezas a los que las cultivan, y, finalmente, que es bueno haberlas examinado todas, aun las más supersticiosas y falsas, para conocer su justo valor y no dejarse engañar por ellas." Para Descartes la investigación trata de mejorar la vida con ayuda de un conocimiento auténtico; y cuál es su punto de partida: el reconocimiento de la ignorancia; también explica (Discurso, III) por qué considera conveniente dirigir metódicamente esta investigación: cuando uno está extraviado parece preferible seguir una dirección fija (una regla), mientras no haya buenas razones para variarla. Además de esto Descartes quiso emplear el método matemático también en la reflexión filosófica, cuya meta era lograr un conocimiento certero sobre la naturaleza de la vida.


GEROLAMO CARDANO, O GIROLAMO CARDAN

Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre de 1501 - 21 de septiembre de 1576) fue un célebre matemático italiano del Renacimiento, médico, astrólogo, jugador de juegos de azar y filósofo.

Nació en Pavía, Italia, hijo ilegítimo de un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, entró en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Sacco (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en las cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews). No obstante, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión. Fue el primero en describir la fiebre tifoidea.

Hoy, es más conocido por sus trabajos de álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética “Practica arithmetica et mensurandi singulares”. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro Ars magna datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica x3 + ax = b (en notación moderna), le fue comunicada a través de Niccolò Fontana (más conocido como Tartaglia) a quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante Cardano consideró que el juramento había expirado tras obtener información de otras fuentes por lo que polemizó con Tartaglia ulteriormente. En realidad el hallazgo de la solución de las ecuaciones cúbicas no se debe ni a Cardano ni a Tartaglia (había hallado una primera fórmula Scipione dal Ferro hacia 1515) y hoy se reconoce la honradez de Cardano que lo reconoció así. La ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano llamado Lodovico Ferrari. En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce como números imaginarios.

Su libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae, escrito en la década de 1560 pero publicado póstumamente en 1663, constituye el primer tratado serio de probabilidad abordando métodos de cierta efectividad.

Hizo contribuciones a la hidrodinámica y mantuvo que el movimiento perpetuo es imposible excepto en los cuerpos celestes. Publicó dos enciclopedias de ciencias naturales conteniendo una amplia variedad de invenciones, hechos y conocimientos que hoy consideramos mágicos o supersticiosos. También introdujo la reja de Cardano, una herramienta criptográfica, en 1550. Asimismo desarrolló un dispositivo que permite conservar la horizontalidad mediante dos ejes que giran en ángulo, dispositivo que actualmente se usa en millones de vehículos, conocido como junta o suspensión de cardano y otro para el asentamiento de las brújulas en las naves llamado gimbal.

En De immortalitate animorum Cardanó reabrió una discusión que había tenido lugar años antes entre Pietro Pomponazzi, Agostino Nifo, Alessandro Achillini y Marcantonio Zimara, principalmente. Ellos habían discutido, en el seno de las tradiciones filosóficas de Aristóteles y Averroes, cuáles habían sido sus posturas, y qué podía decir la razón natural sobre la inmortalidad del hombre. Cardano se significó en oposición a Pietro Pomponazzi, seguidor de Alejandro de Afrodisias.

En Bolonia Cardano fue acusado de herejía en 1570 debido al tono de sus escritos y a haber escrito el horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma y de alguna manera consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII, y allí practicó la medicina, escribió libros médicos y terminó su célebre autobiografía. Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marco.

Publicaciones

• De malo recentiorum medicorum usu libellus, Venecia, 1536 (medicina).
• Practica arithmetice et mensurandi singularis, Milán, 1539 (matemáticas).
• De consolatione, Nuremberg, 1544 (filosofía)
• De sapientia, Nuremberg, 1544 (filosofía)
• Artis magnae, sive de regulis algebraicis (conocido como Ars Magna), Nuremberg, 1545 (álgebra).
• De immortalitate animorum, Lyon, 1545 (reeditado por José Manuel García Valverde, Milano: FrancoAngeli, 2006 ISBN: 8846474465) (filosofía) Traducción al castellano por José Manuel García Valverde: [1].
• Liber somniorum, Basilea, 1562(traducción castellana "El libro de los sueños", Madrid, Asociación Española de Psiquiatría, 1999)
• Contradicentium medicorum, Venecia 1536(medicina).
• In Cl. Ptolemaei ... Quadripartitae Constructionis libros Commentaria, Basilea, 1544 (astrología)
• De subtilitate rerum, Nuremberg, Johann Petreius, 1550 (enciclopedia del saber).
• De libris propriis, Leiden, 1557 (autobibliografía; traducción castellana "Mis libros", Madrid, Akal, 2002).
• De varietate rerum, Basilea, Heinrich Petri, 1559 (enciclopedia).
• Opus novum de proportionibus numerorum, motuum, ponderum, sonorum, aliarumque rerum mensurandarum. Item de alia regula, Basel, 1570. (matemáticas)
• De propia vita, París, 1643 (autobiografía; traducción castellana: "Mi vida", Madrid, Alianza, 1991).
• Liber de ludo aleae (probabilidad).
• Metoposcopia, París, 1658 (fisiognómica)
• Theosonon, 1663 (filosofía).

BLAISE PASCAL

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Auvernia, Francia, 19 de junio de 1623 - París, 19 de agosto de 1662) fue un matemático, físico, filósofo y teólogo francés, considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Fue un niño prodigio, educado por su padre, un juez local.

Sus primeros trabajos abarcan las ciencias naturales y aplicadas, donde realizó importantes contribuciones para la invención y construcción de calculadoras mecánicas, estudios de la teoría matemática de probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío, generalizando la obra de Evangelista Torricelli. También escribió en defensa del método científico.

Pascal fue un matemático de primer orden. Ayudó a crear dos grandes áreas de investigación, escribió importantes tratados sobre geometría proyectiva a los dieciséis años, y más tarde cruzó correspondencia con Pierre de Fermat sobre teoría de la probabilidad, influenciando fuertemente el desarrollo de las modernas ciencias económicas y sociales. Siguiendo con el trabajo de Galileo y de Torricelli, en 1646 refutó las teorías aristotélicas que insistían en que la naturaleza aborrece el vacío, y sus resultados causaron grandes discusiones antes de ser generalmente aceptados.

En 1646, su familia se convirtió al jansenismo, y su padre murió en 1651. Sin embargo, tras una profunda experiencia religiosa en el año 1654, Pascal sufrió una "segunda conversión". Abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la filosofía y a la teología, publicando en este periodo sus dos obras más conocidas: Las Lettres provinciales (Cartas provinciales) y Pensées (Pensamientos). Ese año también escribió un importante tratado sobre el triángulo aritmético. Entre 1658 y 1659 escribió sobre la cicloide y su uso en el cálculo del volumen de los sólidos.

Pascal tuvo una salud muy endeble a lo largo de toda su vida, y su muerte acaeció dos meses después de haber cumplido 39 años.

FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

La principal contribución de Pascal a la filosofía de la matemática tuvo lugar a través de su obra De l'Esprit géométrique ("Sobre el Espíritu Geométrico"), escrita originalmente como prefacio a un libro de texto de geometría para uno de los famosos Petites écoles de Port-Royal. La obra no fue publicada hasta más de un siglo después de su muerte y en ella Pascal trata el tema del descubrimiento de la verdad, argumentando que el ideal para descubrir esos postulados es a través de un método mediante el cual todos esos postulados se fundamenten en verdades ya establecidas. Al mismo tiempo, sin embargo, señalaba que esto era imposible, puesto que dichas verdades requerían también para su demostración la existencia de otras verdades sobre las que fundamentarse y que los principios iniciales eran, por tanto, imposibles de alcanzar. Basado en esto, Pascal argumentaba que el procedimiento utilizado en geometría era tan perfecto como era posible, asumiendo ciertos principios a partir de los cuales se desarrollaban el resto de postulados, si bien era imposible demostrar que esos principios iniciales fuesen ciertos.

Pascal también desarrolló en esa obra una teoría de la definición. Distinguió entre definiciones que son etiquetas convencionales hechas por el escritor y definiciones que se comprenden en el lenguaje, y que son admitidas y comprendidas de forma universal porque designan de forma natural el objeto de la definición. El segundo tipo serían características de la filosofía del esencialismo. Pascal defendía que sólo las definiciones del primer tipo eran importantes para la ciencia y las matemáticas, argumentando que esos campos debían adoptar la filosofía del formalismo formulada por Descartes.

En su obra titulada De l'Art de persuader ("Del Arte de la Persuasión"), Pascal profundizó en el método axiomático, y en especial sobre la cuestión de cómo se puede convencer a la gente de la aceptación de los axiomas sobre los que se basan las conclusiones finales. Pascal coincidía con Montaigne en que era imposible conseguir la certeza absoluta sobre esos axiomas y conclusiones mediante los métodos disponibles, y que tan sólo se podía llegar a esos principios a través de la intuición, lo cual subrayaba la necesidad de la sumisión a Dios para la búsqueda de la verdad.


JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS


Johann Carl Friedrich Gauss ( (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodigio de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.


OBRA MAESTRA

La primera estancia de Gauss en Gotinga duro tres años, que fueron de los más productivos de su vida. Regreso a su natal Brunswick a finales de 1798 sin haber recibido ningún título en la universidad, pero su primera obra maestra estaba casi lista. La obra estuvo lista a finales del año 1798, pero fue hasta 1801. Gauss la escribió en latín y la tituló Disquisitiones arithmeticae. Por supuesto, este libro está dedicado a su mecenas, el duque Ferdinand, por quien Gauss sentía mucho respeto y agradecimiento. Es un tratado de la teoría de números en el que se sintetiza y perfecciona todo el trabajo previo en esta área. La obra consta de 8 capítulos pero el octavo no se pudo imprimir por cuestiones financieras. El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado.
Publicaciones

• 1799: Disertación sobre el teorema fundamental del álgebra, con el título: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse ("Nuevas pruebas del teorema donde cada función integral algebraica de una variable puede resolverse en factores reales [i.e. polinomiales] de primer o segundo grado")
• 1801: Disquisitiones Arithmeticae
• 1809: Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Theorie der Bewegung der Himmelskörper, die die Sonne in Kegelschnitten umkreisen), trad. al inglés × C. H. Davis, reempreso 1963, Dover, NY
• 1821, 1823 & 1826: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Drei Abhandlungen betreffend die Wahrscheinlichkeitsrechnung als Grundlage des Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetzes. trad. al inglés × G. W. Stewart, 1987, Society for Industrial Mathematics.
• 1827: Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99-146. "General Investigations of Curved Surfaces" (published 1965) Raven Press, New York, trad. × A.M.Hiltebeitel & J.C.Morehead.
• 1843/44: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Zweiter Band, pp. 3-46
• 1846/47: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Dritter Band, pp. 3-44
• Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Harri Deutsch Verlag 2005, mit Anmerkungen von Neumamn, ISBN 978-3-8171-3402-1 (es gibt auch engl. Übers. mit Anmerkungen von Jeremy Gray, Expositiones Math. 1984)
• Obras colectivas de Gauss online, traducciones al alemán del texto en latín y comentarios de varias autoridades.


APOLONIO DE PERGA

Nació: alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Antalia, Turquía) Murió: alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, Egipto.


Apolonio de Perga era conocido como 'el gran geómetra'. Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas1 introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola2, elipse3 e hipérbola.

Apolonio de Perga no debe ser confundido con otro estudiosos griegos llamados Apolonio, ya que éste era un nombre muy común. En se dan detalles de otros con ese mismo nombre: Apolonio de Rodas, nacido alrededor del 295 a.C., poeta y gramático griego, alumno de Calímaco que fue maestro de Eratóstenes; Apolonio de Tralles, siglo II a. de C. escultor griego; Apolonio el ateniense, siglo I a. de C., escultor; Apolonio de Tiana, siglo I, miembro de la sociedad fundada por Pitágoras; Apolonio Díscolo, siglo II, gramático griego que es conocido por ser el fundador del estudio sistemático de la gramática; y Apolonio de Tiro que es un personaje literario.

Apolonio el matemático nació en Perga, Panfilia, lo que es hoy conocido como Murtina, o Murtana y se encuentra en Antalia, Turquía. En esa época, Pérgamo era conocido como centro cultural y además era el lugar en el que se hallaba el santuario de la diosa Artemisa. De joven Apolonio fue a Alejandría donde estudió con los seguidores de Euclides y donde más tarde él mismo daría clases. Apolonio visitó Pérgamo lugar en el que existía una universidad y una biblioteca similares a las de Alejandría. Pérgamo, hoy la ciudad de Bergama en la provincia turca de Izmir, era una antigua ciudad griega de Misia. Estaba situada a 25 kms. del mar Egeo sobre una colina en el lado norte del amplio valle del río Caicus (hoy río Bakir).

Mientras Apolonio estuvo en Pérgamo se encontró con Eudemo de Pérgamo (no confundir con Eudemo de Rodas que escribió la Historia de la Geometría) y también con Atalo, considerado por algunos como el rey Atalo I de Pérgamo. En el prefacio a la segunda edición de su Las cónicas, Apolonio se dirigió a Eudemo.

Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. Respecto a sus obras, se han perdido muchas: Reparto rápido, en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una aproximación del número pi; Secciones en una razón dada, trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendos puntos situados en dichas rectas) que esten en una razón dada (este problema es equivalente a resolver la ecuación ax - x2 = bc); Secciones en un área dada, problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro (este problema es equivalente a resolver la ecuación ax + x2=bc); Secciones determinadas, dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto P, tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BP y DP; Tangencias, resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio); Lugares planos, los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las circunferencias, lugares sólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado.

Sólo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) y Las Cónicas (sólo se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra mas importante de Apolonio, es más, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros mas importantes de matemáticas.

Las Cónicas está formado por 8 libros. Fue escrito cuando Apolonio estaba en Alejandría pero posteriormente, ya en Pérgamo (hoy Bergama en Turquía), lo mejoró.

• El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.
• El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.
• El libro III: (el preferido de Apolonio).
• El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.
• El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
• El libro VI: trata sobre cónicas semejante.
• El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.
• El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.

Los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual.



Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.
Fue discípulo y un gran matematico como lo fue Jean Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, y la mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de ciencias de estas instituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica, la Metafísica y la fisica.
Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.
Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss.
Tratados
Introductio in Analysis Infinitorum (1748)
Institutiones Calculi Differentialis (1755)
Institutiones Calculi Integralis (1768-1794)
Contribución a las notaciones: Fue el primero en emplear la notación f(x) proporcionando más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último. También introdujo el símbolo Σ para expresar sumatorios.
El número "e" como límite de una sucesión y cuya propiedad más importante es la de su derivada equivalente.
Unió los símbolos matemáticos más trascendentes ( e, pi, i, -1) en forma de una ecuación, conocida como la Fórmula de Euler.
En relación con lo anterior sentó las bases del análisis matemático avanzado al generalizar su fórmula para que conectase las funciones exponenciales y las trigonométricas. Con ello también desarrolló el cálculo complejo.

LEONHARD EULER

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.

Fue discípulo y un gran matematico como lo fue Jean Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, y la mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de ciencias de estas instituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica, la Metafísica y la fisica.

Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.

Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss.
Tratados
• Introductio in Analysis Infinitorum (1748)
• Institutiones Calculi Differentialis (1755)
• Institutiones Calculi Integralis (1768-1794)
• Contribución a las notaciones: Fue el primero en emplear la notación f(x) proporcionando más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último. También introdujo el símbolo Σ para expresar sumatorios.
• El número "e" como límite de una sucesión y cuya propiedad más importante es la de su derivada equivalente.
• Unió los símbolos matemáticos más trascendentes ( e, pi, i, -1) en forma de una ecuación, conocida como la Fórmula de Euler.
• En relación con lo anterior sentó las bases del análisis matemático avanzado al generalizar su fórmula para que conectase las funciones exponenciales y las trigonométricas. Con ello también desarrolló el cálculo complejo.
• Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las Ecuaciones de Euler-Lagrange.
• Mecánica de Newton: En su tratado de 1739 introdujo explícitamente el concepto de partícula y de masa puntual. Introdujo la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, que definiría todo el estudio de la Mecánica hasta Lagrange.
• Sólido Rígido: Definió los tres ángulos de Euler para describir la posición. Publicó el teorema principal del movimiento (siempre existe un eje de rotación instantáneo). Solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo).
• Hidrodinámica: Estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las Ecuaciones de Euler de la Hidrodinámica.
• Arquitectura e Ingeniería: Desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de vigas y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas.
• Ecuaciones diferenciales: Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
• Electromagnetismo: Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la Presión de Radiación, fundamental en la teoría unificada del Electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.
• Publicó trabajos sobre el movimiento de la luna.
• Problema de los puentes de Königsberg. Demostró que un esquema de dichos puentes no podía recorrerse. Este problema pudo haber sido la primera aplicación en teoría de grafos o en topología, (con el desarrollo del problema de los puentes de Königsberg por Euler se da inicio a la topología).
• Geometría: Desarrolló lo que se llama característica de Euler o teorema de poliedros de Euler. Básicamente es buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los conocidos hasta entonces. Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo (baricentro, ortocentro y circuncentro) podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denominó "Recta de Euler" en honor a este.
• Series infinitas: Logró hallar en 1736 la suma de los recíprocos de los cuadrados, buscada por grandes matemáticos como Jacques Bernoulli (hijo de Jean Bernoulli), es decir:



Asimismo logró calcular la suma de los recíprocos de las cuartas y sextas potencias:




Sir Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) fue un científico, físico, filósofo, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en el Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran los siguientes: el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de conducción térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de las matemáticas, desarrollando el teorema del binomio. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."

Nació el 25 de diciembre de 1642 (correspondiente al 4 de enero de 1643 del nuevo calendario) en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra; fue hijo de dos campesinos puritanos, aunque nunca llegó a conocer a su padre, pues había muerto en octubre de 1642. Cuando su madre volvió a casarse, lo dejó a cargo de su abuela, con quien vivió hasta la muerte de su padrastro en 1653. Realizó estudios en la Free Grammar School en Grantham y a los dieciocho años ingresó en la Universidad de Cambridge para continuar sus estudios. Su primer tutor oficial fue Benjamín Pulleyn. Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College como un estudiante mediocre debido a su formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemáticas y filosofía natural de la época. En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten, la Óptica de Kepler, la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.

En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como su primer profesor Lucasiano de matemáticas. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten. Newton superó rápidamente a Barrow, quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos.

En esta época la geometría y la óptica ya tenían un papel esencial en la vida de Newton. Fue en este momento en que su fama comenzó a crecer ya que inició una correspondencia con la Royal Society (Sociedad Real). Newton les envió algunos de sus descubrimientos y un telescopio que suscitó un gran interés de los miembros de la Sociedad, aunque también las críticas de algunos de sus miembros, principalmente Robert Hooke. Esto fue el comienzo de una de la muchas disputas que tuvo en su carrera científica. Se considera que Newton demostró agresividad ante sus contrincantes que fueron principalmente, (pero no únicamente) Hooke, Leibniz y, en lo religioso, la Iglesia de Roma. Cuando fue presidente de la Royal Society, fue descrito como un dictador cruel, vengativo y busca-pleitos. Sin embargo, fue una carta de Robert Hooke, en la que éste comentaba sus ideas intuitivas acerca de la gravedad, la que hizo que iniciara de lleno sus estudios sobre la mecánica y la gravedad. Newton resolvió el problema con el que Hooke no había podido y sus resultados los escribió en lo que muchos científicos creen que es el libro más importante de la historia de la ciencia, el Philosophiae naturalis principia mathematica.

En 1693 sufrió una gran crisis psicológica, causante de largos periodos en los que permaneció aislado, durante los que no comía ni dormía. En esta época sufrió depresión y arranques de paranoia. Mantuvo correspondencia con su amigo, el filósofo John Locke, en la que, además de contarle su mal estado, lo acusó en varias ocasiones de cosas que nunca hizo. Algunos historiadores creen que la crisis fue causada por la ruptura de su relación con su discípulo Nicolás Fatio de Duillier; la mayoría, sin embargo, opina que en esta época Newton se había envenenado al hacer sus experimentos alquímicos. Después de escribir los Principia abandonó Cambridge mudándose a Londres donde ocupó diferentes puestos públicos de prestigio siendo nombrado Preboste del Rey, magistrado de Charterhouse y director de la Casa de Moneda.

Entre sus intereses más profundos se encontraban la alquimia y la religión, temas en los que sus escritos sobrepasan con mucho en volumen sus escritos científicos. Entre sus opiniones religiosas defendía el arrianismo y estaba convencido de que las Sagradas Escrituras habían sido violadas para sustentar la doctrina trinitaria. Esto le causó graves problemas al formar parte del Trinity College en Cambridge y sus ideas religiosas impidieron que pudiera ser director del College. Entre sus estudios alquímicos estaba interesado en temas esotéricos como la transmutación de los elementos, la piedra filosofal y el elixir de la vida.
Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Poco después regresó a la granja familiar a causa de una epidemia de peste bubónica.

Retirado con su familia durante los años 1665-1666, conoció un período muy intenso de descubrimientos, entre los que destaca la ley del inverso del cuadrado de la gravitación, su desarrollo de las bases de la mecánica clásica, la formalización del método de fluxiones y la generalización del teorema del binomio, poniendo además de manifiesto la naturaleza física de los colores. Sin embargo, guardaría silencio durante mucho tiempo sobre sus descubrimientos ante el temor a las críticas y el robo de sus ideas. En 1667 reanudó sus estudios en Cambridge.

De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemáticas, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su "Analysis per aequationes numero terminorum infinitos". Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.
Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de las matemáticas. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la Geometría Analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.

Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.


Entre 1670 y 1672 trabajó intensamente en problemas relacionados con la óptica y la naturaleza de la luz. Newton demostró que la luz blanca estaba formada por una banda de colores (rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta) que podían separarse por medio de un prisma. Como consecuencia de estos trabajos concluyó que cualquier telescopio refractor sufriría de un tipo de aberración conocida en la actualidad como aberración cromática que consiste en la dispersión de la luz en diferentes colores al atravesar una lente. Para evitar este problema inventó un telescopio reflector (conocido como telescopio newtoniano).
Sus experimentos sobre la naturaleza de la luz le llevaron a formular su teoría general sobre la misma que, según él, está formada por corpúsculos y se propaga en línea recta y no por medio de ondas. El libro en que expuso esta teoría fue severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos, entre ellos Hooke (1638-1703) y Huygens, quienes sostenían ideas diferentes defendiendo una naturaleza ondulatoria. Estas críticas provocaron su recelo por las publicaciones, por lo que se retiró a la soledad de su estudio en Cambridge.

En 1704 Newton escribió su obra más importante sobre óptica, Opticks, en la que exponía sus teorías anteriores y la naturaleza corpuscular de la luz, así como un estudio detallado sobre fenómenos como la refracción, la reflexión y la dispersión de la luz. Aunque sus ideas acerca de la naturaleza corpuscular de la luz pronto fueron desacreditadas en favor de la teoría ondulatoria, los científicos actuales han llegado a la conclusión (gracias a los trabajos de Max Planck y Albert Einstein) de que la luz tiene una naturaleza dual: es onda y corpúsculo al mismo tiempo. Esta es la base en la cual se apoya toda la Mecánica Cuántica.
Bernard Cohen afirma que “El momento culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal.” Con una simple ley, Newton dio a entender los fenómenos físicos más importantes del universo observable, explicando las tres leyes de Kepler. Le ley de la gravitación universal descubierta por Newton se escribe, donde F es la fuerza, G es una constante que determina la intensidad de la fuerza y que sería medida años más tarde por Henry Cavendish en su célebre experimento de la balanza de torsión, m1 y m2 son las masas de dos cuerpos que se atraen entre sí y r es la distancia entre ambos cuerpos, siendo el vector unitario que indica la dirección del movimiento.

La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una serie de estudios y trabajos iniciados mucho antes. En 1679 Robert Hooke introdujo a Newton en el problema de analizar una trayectoria curva. Cuando Hooke se convirtió en secretario de la Royal Society quiso entablar una correspondencia filosófica con Newton. En su primera carta planteó dos cuestiones que interesarían profundamente a Newton. Hasta entonces científicos y filósofos como Descartes y Huygens analizaban el movimiento curvilíneo con la fuerza centrífuga, sin embargo Hooke proponía “componer los movimientos celestes de los planetas a partir de un movimiento rectilíneo a lo largo de la tangente y un movimiento atractivo, hacia el cuerpo central.” Sugiere que la fuerza centrípeta hacia el Sol varía en razón inversa al cuadrado de las distancias. Newton contesta que él nunca había oído hablar de estas hipótesis.
En otra carta de Hooke, escribe: “Nos queda ahora por conocer las propiedades de una línea curva... tomándole a todas las distancias en proporción cuadrática inversa.” En otras palabras, Hooke deseaba saber cuál es la curva resultante de un objeto al que se le imprime una fuerza inversa al cuadrado de la distancia. Hooke termina esa carta diciendo: “No dudo que usted, con su excelente método, encontrará fácilmente cuál ha de ser esta curva.”

En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley de que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton redactó estos cálculos en el tratado “De Motu” y los desarrolló ampliamente en el libro “Philosophiae naturalis principia mathematica”. Aunque muchos astrónomos no utilizaban las leyes de Kepler, Newton intuyó su gran importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal.

Sin embargo, la gravitación universal es mucho más que una fuerza dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los planetas sobre el Sol y sobre todos los objetos del Universo. Newton intuyó fácilmente a partir de su tercera ley de la dinámica que si un objeto atrae a un segundo objeto, este segundo también atrae al primero con la misma fuerza. Newton se percató de que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: “los planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma órbita”. Para Newton, ferviente religioso, la estabilidad de las órbitas de los planetas implicaba reajustes continuos sobre sus trayectorias impuestas por el poder divino.
Las leyes de la Dinámica

Artículo principal: Leyes de Newton

Otro de los temas tratados en los Principa fueron las tres leyes de la Dinámica o Leyes de Newton, en las que explicaba el movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas. Éstas son:

La primera ley de Newton o ley de la inercia

"Todo cuerpo preservará en sus estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado"
En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas extrañas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o moviéndose a velocidad constante.
Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo sólo se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.

La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza

"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime"
Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la segunda ley, las interacciones producen variaciones en el momento lineal, a razón de

Siendo la fuerza, la derivada del momento lineal, dt la derivada del tiempo.
La segunda ley puede resumirse en la fórmula: siendo la fuerza (medida en newtons) que hay que aplicar sobre un cuerpo de masa m para provocar una aceleración .

La tercera ley de Newton o ley de de acción-reacción

"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos"
Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: la sensación de dolor que se siente al golpear una mesa, puesto que la mesa ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción a la fuerza que él ha ejercido previamente...

Los últimos años de su vida se vieron ensombrecidos por la desgraciada controversia, de envergadura internacional, con Leibniz a propósito de la prioridad de la invención del nuevo análisis. Acusaciones mutuas de plagio, secretos disimulados en criptogramas, cartas anónimas, tratados inéditos, afirmaciones a menudo subjetivas de amigos y partidarios de los dos gigantes enfrentados, celos manifiestos y esfuerzos desplegados por los conciliadores para aproximar a los clanes adversos, sólo terminaron con la muerte de Leibniz en 1716.

Padeció durante sus últimos años diversos problemas renales, incluyendo atroces cólicos nefríticos, sufriendo uno de los cuales moriría -tras muchas horas de delirio- la noche del 20 de marzo de 1727 (calendario juliano). Fue enterrado en la abadía de Westminster junto a los grandes hombres de Inglaterra.

«No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido.»

Fue respetado durante toda su vida como ningún otro científico, y prueba de ello fueron los diversos cargos con que se le honró: en 1689 fue elegido miembro del Parlamento, en 1696 se le encargó la custodia de la Casa de la Moneda, en 1703 se le nombró presidente de la Royal Society y finalmente en 1705 recibió el título de Sir de manos de la Reina Ana.

La gran obra de Newton culminaba la revolución científica iniciada por Nicolás Copérnico (1473-1543) e inauguraba un período de confianza sin límites en la razón, extensible a todos los campos del conocimiento.

Escritos de Newton
• Method of Fluxions (1671)
• Philosophiae naturalis principia mathematica (1687)
• Opticks (1704)
• Arithmetica Universalis (1707)


GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ


Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más, y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas." De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot, contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.

Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de las matemáticas. Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También descubrió el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Fue uno de los primeros intelectuales europeos que reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de la China como potencia desde todos los puntos de vista.

Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza también con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz también hizo contribuciones a la tecnología, y anticipó nociones que aparecieron mucho más tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería y ciencias de la información. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas está desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completa de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus logros.

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular. En el siglo XVIII, el concepto de "función" perdió estas asociaciones meramente geométricas.

Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como "Eliminación Gaussiana". Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra Booleana y la lógica simbólica.

Cálculo infinitesimal

La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Sir Isaac Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo "integral", que representa una S alargada, derivado del latín "summa", y la letra "d" para referirse a los "diferenciales", del latín "differentia". Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo, es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684. La regla del producto del cálculo diferencial es aún denominada "regla de Leibniz para la derivación de un producto". Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral, se llama la "regla de Leibniz para la derivación de una integral".

Desde 1711 hasta su muerte, la vida de Leibniz estuvo emponsoñada con una larga disputa con John Keill, Newton y otros sobre si había inventado el cálculo independientemente de Newton, o si meramente había inventado otra notación para las ideas de Newton.

LEONARDO DE PISA, LEONARDO PISANO O LEONARDO BIGOLLO




Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).

El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes[1] más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en general. En 1240, la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente (bajo su nombre alternativo de Leonardo Bigollo).

Conocido por Fibonacci, hijo de Bonaccio, no era un erudito, pero por razón de sus continuos viajes por Europa y el cercano oriente, fue el que dio a conocer en occidente los métodos matemáticos de los hindúes.

En el año 1225 publica su cuarto y principal libro:"Liber Quadratorum", El Libro de los Números cuadrados, a raíz de un desafío de un matemático de la corte de Federico II (Teodoro) que le propuso encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco diera como resultado en ambos casos números cuadrados. Curiosamente, el año de publicación del libro es un número cuadrado.
Fibonacci comienza con los rudimentos de lo que se conocía de los números cuadrados desde la antigua Grecia y avanza gradualmente resolviendo proposiciones hasta dar solución al problema de análisis indeterminado que le habían lanzado como desafío.
En la parte original de la obra introduce unos números que denomina "congruentes" (Proposición IX) y que define, en terminología actual, como c = m.n (m² - n²), donde m y n son enteros positivos impares, m > n. De esta forma, el menor de ellos es 24. Enuncia y muestra que el producto de un número congruente por un cuadrado es otro número congruente.
Utiliza estos números como herramientas para sus posteriores proposiciones y los hace intervenir en una identidad que es conocida como "Identidad de Fibonacci" (Proposición XI). La identidad es: [1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]². Esta permite pasar con facilidad de un triángulo rectángulo a otro.
Leonardo de Pisa utiliza frecuentemente las proposiciones precedentes como lemas para las siguientes, por lo que el libro lleva un encadenamiento lógico. Sus demostraciones son del tipo retórico y usa segmentos de recta como representación de cantidades. Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostrado con las herramientas actuales. No se encuentran errores importantes si se hace excepción de la incompletitud de algunas demostraciones. El contenido del libro supera a la respuesta al desafío recibido y muestra el estado de la matemática de su época.
SU APORTE COMPLETO A LA MATEMÁTICA

• Liber Abaci. Escrito en 1202, revisado y considerablemente aumentado en 1228, se divide en quince capítulos. Un capítulo importante está dedicado a las fracciones graduales[3] , de las que expone las propiedades. En ellas basa una teoría de los números fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos de números abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de números concretos. Todas las fracciones se presentan a la manera egipcia, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción \textstyle \frac{2}{3},[4] que no se descompone. Incluye una tabla para descomposición en fracciones unitarias que se lee derecha a izquierda, como en las lenguas semíticas.

• Practica Geometriae. (Geometría práctica) Está dividido en siete capítulos en los que aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es la obra más avanzada en su tipo que se encuentra en esa época en Occidente.

• Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium. (Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría) Comprende quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de esos problemas habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo, matemático de la corte del emperador Federico II.

• Carta a Teodoro. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólogo de la corte de Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el Liber Quadratorum al francés desde el original latino de la edición de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es geométrico-algebraico. Trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que tenga un lado sobre la base del triángulo y los otros dos sobre los restantes de éste. Lo reduce a una ecuación de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentágono en el sistema sexagesimal .

• Liber Quadratorum. (El Libro de los Números Cuadrados) Consta de veinte proposiciones. Estas no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro, un matemático de la corte de Federico II.


Évariste Galois (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) fue un joven matemático francés nacido en Bourg-la-Reine. Mientras aún era un adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, dando una solución a un problema que había permanecido insoluble. Su trabajo ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre, una rama principal del álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático.

Galois nació en Bourg-la-Reine, una comuna a las afueras de París. Su padre fue Nicholas-Gabriel Galois, director de la escuela de la localidad que llegaría a ser elegido alcalde de la comuna al frente del partido liberal, partidario de Napoleón. Su madre, Adelaide-Marie, era una persona de indudables cualidades intelectuales hija de una familia de abogados muy influyente de París.

Hasta los doce años, Évariste fue educado por su madre, junto con su hermana mayor Nathalie-Theodore, consiguiendo una sólida formación en latín y griego, así como en los clásicos. Era un muchacho muy inteligente, pero aunque muchos consideran que fue un niño prodigio de las matemáticas, no es probable que durante su educación más temprana el joven tuviera una profunda exposición a las matemáticas (aparte de la aritmética elemental) y tampoco se tiene noticia de que se hubieran dado casos de talento matemático especial en su familia.

Su educación académica empezó a la edad de 12 años cuando ingresó en el liceo Royal de Louis-le-Grand, de París, donde habían estudiado Robespierre y Víctor Hugo. Allí tuvo sus primeros escarceos de tintes políticos (un enfrentamiento con el director del internado) que se saldaron con la expulsión de varios alumnos, entre los cuales él no estaba, pero que forjaron una incipiente rebeldía hacia la autoridad (especialmente un ideario antieclesiástico y antimonárquico que mantuvo hasta su muerte). Durante los dos primeros años en el Louis-le-Grand, Galois tuvo un rendimiento normal e incluso llegó a ganar algunos premios en griego y latín. Pero en tercero, su trabajo de retórica fue reprobado y tuvo que repetir curso. Fue entonces cuando Galois entró en contacto con las matemáticas: tenía entonces 15 años. Después de entrar en las matemáticas, tuvo interés en la geografía.

El programa de matemáticas del liceo no difería mucho del resto. Sin embargo, Galois encontró en él el placer intelectual que le faltaba. El curso impartido por Ms Vernier, despertó el genio matemático de Galois. Tras asimilar sin esfuerzo el texto oficial de la escuela y los manuales al uso, Galois empezó con los textos más avanzados de aquella época: estudió la geometría de Legendre y el álgebra de Lagrange. Galois profundizó considerablemente en el estudio del álgebra, una materia que entonces todavía tenía muchas lagunas y cuestiones oscuras. Y así llegó a conocer la cantidad de problemas sin resolver que encerraba aquella disciplina. Problemas que pasaron a ocupar la mayor parte de su tiempo de estudio. Empezó a descuidar las otras materias, atrayendo hostilidad de los profesores de humanidades. Incluso Vernier le sugirió la necesidad de trabajar más en otras disciplinas distintas.

Sin embargo, Galois tenía una idea clara: quería ser matemático y quería entrar en la École Polytechnique. Así decidió presentarse con un año de antelación (1828) al examen de acceso. Al carecer de la formación fundamental en diversos aspectos y sin haber recibido el curso habitual preparatorio de matemáticas, Evariste fue rechazado. Galois no aceptó este rechazo inicial y ello aumentó su rebeldía y su oposición a la autoridad. No obstante, continuó progresando rápidamente en el estudio de las matemáticas durante el segundo curso impartido en el Louis-le-Grand, en este caso por Ms Richard, quien supo ver las cualidades del joven y solicitó que fuera admitido en la École Polytechnique. Aunque la solicitud de Richard no fue atendida, la dedicación y el impulso que Galois recibió de su profesor tuvo unos resultados notables.

Siendo todavía estudiante del Louis-le-Grand, Galois logró publicar su primer trabajo (una demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas) y poco después dio con la clave para resolver un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo (las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales). Sin embargo, sus avances más notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con mucho los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de grupos.

Sin embargo, el destino no le iba a deparar muchos más éxitos. Pocos días antes de presentarse al segundo (y definitivo) examen de acceso a la École Polytechnique, el padre de Evariste se quitaba la vida. En este contexto Galois se presentó y, con sus habituales maneras rebeldes y su desprecio por la autoridad, se negó a seguir las indicaciones de los examinadores al rehusar justificar sus enunciados. Y, naturalmente, fue rechazado definitivamente.

Viéndose obligado considerar la menos prestigiosa École Normale, Galois se presentó a los exámenes de bachillerato (necesario para ser admitido) y esta vez fue aprobado gracias a su excepcional calificación en matemáticas. Galois fue admitido en la École Normale más o menos al mismo tiempo que sus revolucionarios trabajos sobre teoría de grupos eran evaluados por la Academia de Ciencias. Sin embargo, sus artículos nunca llegaron a ser publicados en vida de Galois. Inicialmente se lo envió a Cauchy, quien lo rechazó porque su trabajo tenía puntos en común con un reciente artículo publicado por Abel. Galois lo revisó y se lo volvió a remitir, y en esta ocasión, Cauchy lo remitió a la academia para su consideración; pero Fourier, el secretario vitalicio de la misma y el encargado de su publicación, murió poco después de recibirlo y la memoria fue traspapelada. El premio fue otorgado ex equo a Abel y a Jacobi, y Evariste acusó a la academia de una farsa para desacreditarle.

A pesar de la pérdida de la memoria enviada a Fourier, Galois publicó tres artículos aquel mismo año en el Bulletin des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques del Barón de Férussac. Estos trabajos presentan los fundamentos de la Teoría de Galois y, aunque se trataba de un trabajo inconcluso, prueban sin lugar a dudas que el joven había llegado más lejos que ningún otro matemático en el campo del álgebra relacionado con la resolución de ecuaciones polinómicas.

Para entonces, la vida de Galois empezaba a estar teñida de un marcado tinte político. En julio de 1830 los republicanos se levantaron y obligaron a exiliarse al rey Carlos X. No obstante, el triunfo de los republicanos, entre los que se encontraba el joven Galois, fue aplastado por la llegada al trono de un nuevo rey: Luis Felipe de Orleans. Galois participó activamente en las manifestaciones y sociedades republicanas. Fue expulsado por ello de la École Normale. En la primavera de 1831, con apenas 19 años, Galois fue detenido y encarcelado durante más de un mes acusado de sedición, tras un desafiante brindis en nombre del rey. Inicialmente fue absuelto, pero volvió a ser arrestado por otra actitud sediciosa en julio y esta segunda vez pasó ocho meses en prisión.

Durante aquel año de 1831 Galois por fin había redondeado las cuestiones pendientes en su trabajo y lo había sometido a la consideración de Poisson, quien le recomendó que lo presentara de nuevo a la Academia. Más tarde, aquel mismo año, el propio Poisson recomendó a la Academia que rechazara su trabajo con la indicación de que "sus argumentaciones no estaban ni lo suficientemente claras ni suficientemente desarrolladas para permitirles juzgar su rigor". El propio Poisson, a pesar de su enorme prestigio matemático y de sus esfuerzos, no llegó a comprender los resultados que le presentaba aquella memoria. Galois recibió la carta de rechazo en prisión.

Dos días antes de su muerte, Galois fue liberado de su encarcelamiento. Los detalles que condujeron a su duelo (supuestamente a causa de un lío de faldas) no están claros. Lo que queda para la historia es la noche anterior al evento. Evariste Galois estaba tan convencido de lo inmediato de su muerte que pasó toda la noche escribiendo cartas a su amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático. En estos últimos papeles describió someramente las implicaciones del trabajo que había desarrollado en detalle y anotó una copia del manuscrito que había remitido a la academia junto con otros artículos.

El 30 de mayo de 1832, a primera hora de la mañana, Galois recibió un disparo en el abdomen, falleciendo al día siguiente a las diez de la mañana (probablemente de peritonitis) en el hospital de Cochin, después de rehusar los servicios de un sacerdote. Sus últimas palabras a su hermano Alfredo fueron: «¡No llores! Necesito todo mi coraje para morir a los veinte años».

Las contribuciones matemáticas de Galois fueron publicadas finalmente en 1843 cuando Joseph Liouville revisó sus manuscritos y declaró que aquel joven en verdad había resuelto el problema de Abel por otros medios que suponían una verdadera revolución en la teoría de las matemáticas empleadas. El manuscrito fue publicado en el número de octubre de 1846 del Journal des mathématiques pures et appliquées.


AL-JWĀRIZMĪ

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā'far), conocido generalmente como al-Juarismi, fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán chií, que vivió aproximadamente entre 780 y 850.

Poco se conoce de su biografía, a tal punto que existen discusiones no saldadas sobre su lugar de nacimiento. Algunos sostienen que nació en Bagdad. Otros, siguiendo el artículo de Gerald Toomer[1] (a su vez, basado en escritos del historiador al-Tabari) sostienen que nació en la ciudad corasmia de Jiva, en el actual Uzbekistán. Rashed[2] halla que se trata de un error de interpretación de Toomer, debido a un error de transcripción (la falta de la conectiva wa) en una copia del manuscrito de al-Tabari. No será este el último desacuerdo entre historiadores que encontraremos en las descripciones de la vida y las obras de al-Juarismi. Estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, en la corte del califa al-Mamun. Para muchos, fue el más grande de los matemáticos de su época.

Debemos a su nombre y al de su obra principal," Kitab al-jabr wa'l muqabala",) nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeración.

Hacia 815 al-Mamun, séptimo califa Abásida, hijo de Harún al-Rashid, fundó en su capital, Bagdad, la Casa de la sabiduría (Bayt al-Hikma), una institución de investigación y traducción que algunos han comparado con la Biblioteca de Alejandría. En ella se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e indias. Contaba también con observatorios astronómicos. En este ambiente científico y multicultural se educó y trabajó al-Juarismi junto con otros científicos como los hermanos Banu Musa, al-Kindi y el famoso traductor Hunayn ibn Ishaq. Dos de sus obras, sus tratados de álgebra y astronomía, están dedicadas al propio califa.

Álgebra

En su tratado de álgebra, obra eminentemente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción de Rosen de las palabras de al-Juarizmi describiendo los fines de su libro dan cuenta de que el sabio pretendía enseñar: aquello que es fácil y más útil en aritmética, tal que los hombres lo requieren constantemente en casos de herencia, legados, particiones, juicios, y comercio, y en todos sus tratos con los demás, o cuando se trata de la mensura de tierras, la excavación de canales, cálculos geométricos, y otros objetos de varias clases y tipos.

Traducido al latín por Gerardo de Cremona, se utilizó en las universidades europeas como libro de texto hasta el siglo XVI. Es posible que antes de él se hubiesen resuelto ecuaciones concretas, pero éste es el primer tratado conocido en el que se hace un estudio exhaustivo.

Luego de presentar los números naturales, al-Juarismi aborda la cuestión principal en la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados; para él, por ejemplo, una unidad era un número, una raíz era x y un cuadrado x2. Aunque en los ejemplos que siguen usaremos la notación algebraica corriente en nuestros días para ayudar al lector a entender las nociones, es de destacar que al-Juarizmi no empleaba símbolos de ninguna clase, sino sólo palabras.
Primero reduce una ecuación a alguna de seis formas normales:

• Cuadrados iguales a raíces.
• Cuadrados iguales a números.
• Raíces iguales a números.
• Cuadrados y raíces iguales a números, por ejemplo x2 + 10x = 39
• Cuadrados y números iguales a raíces, por ejemplo x2 + 21 = 10x
• Raíces y números iguales a cuadrados, por ejemplo 3x + 4 = x2

La reducción se lleva a cabo utilizando las operaciones de al-jabr ("compleción", el proceso de eliminar términos negativos de la ecuación) y al-muqabala ("balanceo", el proceso de reducir los términos positivos de la misma potencia cuando suceden de ambos lados de la ecuación). Luego, al-Juarismi muestra como resolver los seis tipos de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos. Por ejemplo, para resolver la ecuación x2 + 10x = 39, escribe:
... un cuadrado y diez raíces son iguales a 39 unidades. Entonces, la pregunta en este tipo de ecuación es aproximadamente así: cuál es el cuadrado que, combinado con diez de sus raíces, dará una suma total de 39. La manera de resolver este tipo de ecuación es tomar la mitad de las raíces mencionadas. Ahora, las raíces en el problema que tenemos ante nosotros son diez. Por lo tanto, tomamos 5 que multiplicadas por sí mismas dan 25, una cantidad que agregarás a 39 dando 64. Habiendo extraído la raíz cuadrada de esto, que es 8, sustraemos de allí la mitad de las raíces, 5, resultando 3. Por lo tanto el número tres representa una raíz de este cuadrado.
Álgebra
Sigue la prueba geométrica por compleción del cuadrado, que no expondremos aquí. Señalaremos sin embargo que las pruebas geométricas que usa al-Juarismi son objeto de controversia entre los expertos. La cuestión, que permanece sin respuesta, es si estaba familiarizado con el trabajo de Euclides. Debe recordarse, en la juventud de al-Juarismi y durante el reinado de Harun al-Rashid, al-Hajjaj había traducido los "Elementos" al árabe, y era uno de los compañeros de al-Juarismi en la Casa de la Sabiduría. Esto avalaría la posición de Toomer (op.cit.). Rashed comenta que "el tratamiento [de al-Juarismi] fue probablemente inspirado en el reciente conocimiento de "los Elementos"". Pero, por su parte, Gandz sostiene que los Elementos le eran completamente desconocidos. Aunque es inseguro que haya efectivamente conocido la obra euclidiana, es posible afirmar que fue influenciado por otras obras de geometría; véase el tratamiento de Parshall[6] sobre las similitudes metodológicas con el texto hebreo Mishnat ha Middot, de mediados del siglo II.
Continúa el Hisab al-jabr w'al-muqabala examinando cómo las leyes de la aritmética se extienden a sus objetos algebraicos. Por ejemplo, muestra cómo multiplicar expresiones como (a + bx)(c + dx). Rashed (op. cit.) encuentra sus formas de resolución extremadamente originales, pero Crossley las considera menos significativas. Gandz considera que la paternidad del álgebra es mucho más atribuible a al-Juarismi que a Diofanto.
La parte siguiente consiste en aplicaciones y ejemplos. Describe reglas para hallar el área de figuras geométricas como el círculo, y el volumen de sólidos como la esfera, el cono y la pirámide. Esta sección, ciertamente, tiene mucha mayor afinidad con los textos hebreos e indios que con cualquier obra griega. La parte final del libro se ocupa de las complejas reglas islámicas de herencia, pero requiere poco del álgebra que expuso anteriormente, más allá de la resolución de ecuaciones lineales.
Aritmética
De su aritmética, posiblemente denominada originalmente Kitab al Yamaa ua al Tafriq bi Hisab al Hindi, "libro de la suma y de la resta, según el cálculo indio", sólo conservamos una versión latina del siglo XII, Algoritmi de número Indorum. Desafortunadamente, se sabe que la obra se aparta bastante del texto original. En esta obra se describe con detalle el sistema indio de numeración posicional en base 10 y métodos para hacer cálculos con él. Se sabe que había un método para encontrar raíces cuadradas en la versión árabe, pero no aparece en la versión latina. Posiblemente fue el primero en utilizar el cero como indicador posicional. Fue esencial para la introducción de este sistema de numeración en el mundo árabe y posteriormente en Europa. André Allard dicute algunos tratados en latín del siglo XII basados en esta obra perdida.

Hipatia (/hy.pa.'ti.a/; Griego: Ὑπατία; Alejandría, 355 ó 370 - Ibídem, marzo de 415 ó 416[1] ) fue una filósofa y maestra neoplatónica griega, natural de Egipto,[2] que destacó en los campos de las matemáticas y la astronomía,[3] miembro y líder de la Escuela neoplatónica de Alejandría a comienzos del siglo V. Seguidora de Plotino, cultivó los estudios lógicos y las ciencias exactas, llevando una vida ascética. Educó a una selecta escuela de aristócratas cristianos y paganos que ocuparon altos cargos, entre los que destacan el obispo Sinesio de Cirene —que mantuvo una importante correspondencia con ella—, Hesiquio de Alejandría y Orestes, prefecto de Egipto en el momento de su muerte.

Hija y discípula del astrónomo Teón, Hipatia es la primera mujer matemática de la que tenemos un conocimiento razonablemente seguro y detallado. Escribió sobre geometría, álgebra y astronomía, mejoró el diseño de los primitivos astrolabios —instrumentos para determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste— e inventó un hidrómetro.

Hipatia murió a una edad avanzada, 45 ó 60 años (dependiendo de cuál sea su fecha correcta de nacimiento), linchada por una turba de cristianos. Su asesinato se produjo en el marco de la hostilidad cristiana contra el declinante paganismo y las luchas políticas entre las distintas facciones de la Iglesia, el patriarcado alejandrino y el poder imperial, representado en Egipto por el prefecto Orestes, ex alumno de la filósofa. Sócrates Escolástico, el historiador más cercano a los hechos, afirma que la muerte de Hipatia fue causa de "no poco oprobio" para el Patriarca Cirilo y la iglesia de Alejandría, y fuentes posteriores, tanto paganas como cristianas, le achacan directamente el crimen, por lo que muchos historiadores consideran probada o muy probable la implicación de Cirilo, si bien el debate al respecto sigue abierto.

Su carácter singular de mujer entregada al pensamiento y la enseñanza en plena Tardoantigüedad, su fidelidad al paganismo en el momento de auge del catolicismo teodosiano como nueva religión del Estado, y su muerte a manos de cristianos le han conferido gran fama. La figura de Hipatia se ha convertido en un verdadero mito: desde la época de la Ilustración se la presenta como a una "mártir de la ciencia" y símbolo del fin del pensamiento clásico ante el avance del Cristianismo. No obstante, en la actualidad se destaca que su asesinato fue un caso excepcional y que, de hecho, la escuela neoplatónica alejandrina, progresivamente cristianizada, floreció hasta pleno siglo VII.

Por su parte, los movimientos feministas la han reivindicado como paradigma de mujer liberada, incluso sexualmente aunque, según la Suda, estuvo casada con otro filósofo —llamado Isidoro— y se mantuvo virgen. También se la ha asociado con la Biblioteca de Alejandría, si bien no hay ninguna referencia que vincule a ambas: se cree que la Gran Biblioteca ptolemaica desapareció en un momento incierto del siglo III, o quizá del IV, y su sucesora, la Biblioteca-hija del Serapeo, fue expoliada en 391. Según las fuentes, Hipatia enseñaba a sus discípulos en su propia casa.


Ninguna de sus obras se ha conservado, pero se conocen gracias a sus discípulos, como Sinesio de Cirene o Hesiquio de Alejandría, el Hebreo.

• Comentario a la Aritmética en 14 libros de Diofanto de Alejandría.
• Canon astronómico.
• Comentario a las Secciones cónicas de Apolonio de Perga, su obra más importante.
• Tablas astronómicas: revisión de las del astrónomo Claudio Tolomeo, conocida por su inclusión en el Canon astronómico de Hesiquio.
• Edición del comentario de su padre a Los Elementos de Euclides.

Además de cartografiar cuerpos celestes, confeccionando un planisferio, también se interesó por la mecánica. Se sabe que inventó un destilador, un artefacto para medir el nivel del agua y un hidrómetro graduado para medir la densidad relativa y gravedad de los líquidos, precursor del actual aerómetro, descrito por Sinesio de Cirene:

Sinesio también la defendió como inventora del astrolabio, aunque astrolabios más tempranos precedan el modelo de Hipatia al menos un siglo —y su propio padre fue famoso por su tratado sobre ellos.


PIERRE DE FERMAT
(Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601; Castres, Francia, 12 de enero de 1665). Jurista y matemático francés.

La mansión del siglo XV donde nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases preparatorias.

Fermat era un matemático que trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueron conocidos por otros pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.

Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del teorema de Pitágoras, también conocido como último Teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René Descartes, Fermat fue uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de la teoría de probabilidades.

Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.




Obra matemática
Espiral de Fermat
Artículo principal: Espiral de Fermat
También conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación:

Es un caso particular de la espiral de Arquímedes.
Números amigos
Artículo principal: Números amigos
Dos números amigos son dos números naturales a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).
En 1636, Fermat descubrió que 17.296 y 18.416 eran una pareja de números amigos, además de redescrubir una fórmula general para calcularlos, conocida por Tabit ibn Qurra, alrededor del año 850.
Números primos
Artículo principal: Número primo de Fermat
Un número de Fermat es un número natural de la forma:

Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de esta forma con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

donde n es natural.

Teorema sobre la suma de dos cuadrados
Artículo principal: Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados
El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo número primo p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. El 2 también se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunció su teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat

Pequeño teorema de Fermat

Artículo principal: Pequeño teorema de Fermat
El pequeño teorema de Fermat, referente a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.

Principio de Fermat

Artículo principal: Principio de Fermat
Último teorema de Fermat
Artículo principal: Último teorema de Fermat
Pierre de Fermat acostumbraba a escribir las soluciones a los problemas en el margen de los libros. Una de las notas que escribió en su ejemplar del texto griego de La Aritmética de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621) .

Esta afirmación, más tarde ya conocida como último teorema de Fermat se convirtió en una de las afirmaciones a probar más importantes en matemáticas. No se sabe si realmente halló la demostración ya que no dejó rastro de ella para que otros matemáticos pudiesen verificarla. Este problema mantuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos (se dice que, frustrado, Euler incluso pidió a un amigo que registrara de arriba a abajo la casa de Fermat en busca de la demostración), hasta que en 1995 Andrew Wiles encontró la demostración. Andrew utilizó para ello herramientas matemáticas que surgieron mucho después de la muerte de Fermat, luego éste debió haber encontrado la solución por otro camino, si es que lo hizo. En cualquier caso, Fermat tenía razón.

BROOK TAYLOR


BROOK TAYLOR (Edmonton, 18 de agosto de 1685 - Somerset House, Londres, 29 de diciembre de 1731) fue un matemático británico.

Hijo de John Taylor, del Parlamento de Bifrons, y de Olivia Tempest (hija de Sir Nicholas Tempest). Entró en la Universidad de St. John de Cambridge como estudiante en 1701. Se licenció en Derecho en 1709, y se doctoró en 1714. Estudió matemáticas con John Machin y John Keill. En 1708 encontró una importante solución del problema del "centro de oscilación" que, sin embargo, no se publicó hasta mayo de 1714 ("Phylosophycal Transactions of the Royal Society" vol.28), lo que provocó una disputa sobre su autoría con Johann Bernoulli.

En su Methodus Incrementorum Directa et Inversa (Londres, 1715) desarrolló una nueva parte dentro de la investigación matemática, que hoy se llama cálculo de las diferencias finitas. Entre las distintas aplicaciones, se usó para determinar la forma del movimiento de una cuerda vibrante, reducido por él por vez primera con éxito a principios mecánicos. El mismo trabajo contenía la famosa fórmula conocida como Teorema de Taylor, cuya importancia sólo se reconoció en 1772, cuando Lagrange se dio cuenta de su valor y lo definió como "el diferencial principal del fundamento del cálculo".

En su Ensayo sobre la prospectiva lineal (Londres, 1715) Taylor expresó los verdaderos principios de la prospectiva de modo más original y general que los anteriores; pero el trabajo tuvo algún problema por su brevedad y su oscuridad, defectos que se pueden aplicar a la mayor parte de sus obras; este trabajo necesitó el perfeccionamiento que desarrollaron Joshua Kirby (1754) y Daniel Fournier (1761).

Taylor fue elegido miembro de la Royal Society a principios de 1712 y el mismo año pasó a formar parte del comité para el juicio sobre reclamos de Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz; desde el 13 de enero de 1714 al 21 de octubre a 1718 fue secretario de la sociedad. Desde 1715 sus estudios dan un giro filósofico y religioso. A partir de este año mantuvo correspondencia con Pierre Rémond de Montmort sobre las doctrinas de Nicolas Malebranche; a raíz de ello, se encontró entre sus cartas y tratados inacabados tratados Sobre los sacrificios hebreos y Sobre la legitimidad de comer sangre, escritos por él a su regreso de Aquisgrán en 1719.

Su matrimonio en 1721 con una dama de Wallington, Surrey le enemistó con su padre, que acabó en 1723 tras la muerte de su mujer durante el parto, en el que también murió el niño. Los dos años siguientes los pasó con su familia en Bifrons; en 1725 se casó, esta vez con la aprobación de su padre, con Sabetta Sawbridge de Olantigh, que también murió de parto en 1730; en esta ocasión, sin embargo, su hija sobrevivió. Su frágil salud hizo que su estado degenerara con rapidez; murió en Somerset House, y le enterraron en la iglesia de St Ann's, Soho. Desde la muerte de su padre (1729) había heredado la propiedad de Bifrons. Como matemático, era el único inglés tras Isaac Newton y Roger Cotes capaz de competir con matemáticos como Johann Bernoulli. Sin embargo, gran parte de los resultados de su demostración no tuvieron repercusión o se perdieron a causa de su incapacidad de expresar sus ideas completamente y con claridad.

Un trabajo póstumo titulado Contemplatio Philosophica fue impreso en 1793 por su sobrino, Sir William Young, que tenía un prólogo sobre la vida del autor y las cartas recibidas por Bolingbroke, Bossuet. Muchos de sus artículos breves se publicaron en la "Phylosophycal Transactions of the Royal Society", volúmenes del 27 al 33, incluyendo los informes de algunos experimentos interesantes sobre el magnetismo e sobre la atracción del vaso capilar. Publicó en 1719 una versión mejorada de su trabajo sobre la prospectiva, con el título Nuevos principios de la prospectiva lineal, revisada por Colson en 1749, e impresa con el retrato y la biografía del autor en 1811.

Taylor en su obra Methodus Incrementorum hizo una primera aproximación completa sobre la refracción astronómica.

En 1715, Taylor encuentra que el movimiento de un punto arbitrario de la cuerda es el de un péndulo simple y determina su tiempo de vibración (periodo). Obtiene en su lenguaje propio, un tanto distinto del nuestro, la ecuación diferencial de la cuerda vibrante, es decir la ecuación unidimensional de ondas, y a partir de ella halla una solución: la forma de la curva que toma la cuerda en un instante dado es sinusoidal.


ALBERT EINSTEIN

Albert Einstein (14 de marzo de 1879 - 18 de abril de 1955), nacido en Alemania y nacionalizado en Estados Unidos en 1940, es el científico más conocido e importante del siglo XX. En 1905, siendo un joven físico desconocido, empleado en la Oficina de Patentes de Berna (Suiza), publicó su Teoría de la Relatividad Especial. En ella incorporó, en un marco teórico simple y con base en postulados físicos sencillos, conceptos y fenómenos estudiados anteriormente por Henri Poincaré y Hendrik Lorentz. Probablemente, la ecuación de la física más conocida a nivel popular es la expresión matemática de la equivalencia masa - energía, E=mc², deducida por Einstein como una consecuencia lógica de esta teoría. Ese mismo año publicó otros trabajos que sentarían algunas de las bases de la física estadística y la mecánica cuántica.

En 1915 presentó la Teoría General de la Relatividad, en la que reformuló por completo el concepto de gravedad. Una de las consecuencias fue el surgimiento del estudio científico del origen y evolución del Universo por la rama de la física denominada cosmología. Muy poco después, Einstein se convirtió en un icono popular de la ciencia alcanzando fama mundial, un privilegio al alcance de muy pocos científicos.

Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y sus numerosas contribuciones a la física teórica, y no por la Relatividad, pues en esa época era aún considerada un tanto controvertida por parte de muchos científicos. Albert Einstein nació en Ulm, (Alemania) a unos 100 km al este de Stuttgart, en el seno de una familia judía. Sus padres eran Hermann Einstein y Pauline Koch. Su padre trabajaba como vendedor de colchones, pero luego ingresó en la empresa electroquímica Hermann. Desde un comienzo, Albert demostró cierta dificultad para expresarse lo que parecía dar una falsa apariencia de algún retardo que le provocaría muchos problemas en el futuro. Albert cursó sus estudios primarios en una escuela católica; un periodo difícil que sobrellevaría gracias a las clases de violín que le daría su madre y a la introducción al álgebra que le descubriría su tío Jacob.

Otro de sus tíos incentivó sus intereses científicos en su adolescencia proporcionándole libros de ciencia. Según relata el propio Einstein en su autobiografía, de la lectura de estos libros de divulgación científica nacería un constante cuestionamiento de las afirmaciones de la religión; un libre pensamiento decidido que fue asociado a otras formas de rechazo hacia el Estado y la autoridad. Un escepticismo poco común en aquella época, a decir del propio Einstein. Su paso por el Gymnasium (instituto de bachillerato), sin embargo, no fue muy gratificante: la rigidez y la disciplina militar de los institutos de secundaria de la época de Bismarck le granjearon no pocas polémicas con los profesores: "tu sola presencia mina el respeto que me debe la clase", le dijo uno de ellos en una ocasión. Otro le dijo que nunca llegaría a nada.

Einstein comenzó a estudiar matemáticas a la edad de 12 años. Se interesó por el álgebra y la geometría plana, y a los 15 años, sin tutor ni guía, emprendió el estudio del cálculo infinitesimal. Existe el rumor, claramente infundado, sobre su incapacidad de aprobar las asignaturas de matemáticas. Lo que sí es cierto es que los cambios en el sistema educativo de aquellos años añadieron confusión a su currículum.

En 1894 la compañía Hermann sufría importantes dificultades económicas y los Einstein se mudaron de Múnich a Pavía en Italia cerca de Milán. Albert permaneció en Múnich para terminar sus cursos antes de reunirse con su familia en Pavía, pero la separación duró poco tiempo: antes de obtener su título de bachiller Albert decidió abandonar el Gymnasium.

Entonces, la familia Einstein intentó matricular a Albert en el Instituto Politécnico de Zúrich (Eidgenössische Technische Hochschule) pero, al no tener el título de bachiller, tuvo que presentarse a una prueba de acceso que suspendió a causa de una calificación deficiente en una asignatura de letras. Esto supuso que fuera rechazado inicialmente, pero el director del centro, impresionado por sus resultados en ciencias, le aconsejó que continuara sus estudios de bachiller y que obtuviera el título que le daría acceso directo al Politécnico. Su familia le envió a Aarau para terminar sus estudios secundarios, y Albert obtuvo el título de bachiller alemán en 1896, a la edad de 16 años. Ese mismo año renunció a su ciudadanía alemana e inició los trámites para convertirse en ciudadano suizo. Poco después el joven Einstein ingresó en el Instituto Politécnico de Zúrich, ingresando en la Escuela de orientación matemática y científica, y con la idea de estudiar física.

Durante sus años en la políticamente vibrante Zúrich, Einstein descubrió la obra de diversos filósofos: Marx, Engels, Hume, Kant, Mach y Spinoza. También tomó contacto con el movimiento socialista a través de Friedrich Adler y con cierto pensamiento inconformista y revolucionario en el que mucho tuvo que ver su amigo Michele Besso. En 1898 conoció a Mileva Maric, una compañera de clase serbia, también amiga de Nikola Tesla, de talante feminista y radical, de la que se enamoró. En 1900 Albert y Mileva se graduaron en el Politécnico de Zürich y en 1901 consiguió la ciudadanía suiza. Durante este período Einstein discutía sus ideas científicas con un grupo de amigos cercanos, incluyendo a Mileva. Albert Einstein y Mileva tuvieron una hija en enero de 1902, llamada Liserl. El 6 de enero de 1903 la pareja se casó.

Tras graduarse, siendo el único de su promoción que no consiguió el grado de maestro, Einstein no pudo encontrar un trabajo en la Universidad, aparentemente, por la irritación que causaba entre sus profesores. El padre de su compañero de clase Marcel Grossmann le ayudó a encontrar un trabajo en la Oficina de Patentes Suiza en Berna en1902. Su personalidad le causó también problemas con el director de la Oficina quien le enseñó a "expresarse correctamente".

En esta época Einstein se refería con amor a su mujer Mileva como "una persona que es mi igual y tan fuerte e independiente como yo". Abram Joffe, en su biografía de Einstein, argumenta que durante este periodo fue ayudado en sus investigaciones por Mileva. Esto se contradice con otros biógrafos como Ronald W. Clark, quien afirma que Einstein y Mileva llevaban una relación distante que brindaba a Einstein la soledad necesaria para concentrarse en su trabajo.

En mayo de 1904, Einstein y Mileva tuvieron un hijo de nombre Hans Albert Einstein. Ese mismo año consiguió un trabajo permanente en la Oficina de patentes. Poco después finalizó su doctorado presentando una tesis titulada Una nueva determinación de las dimensiones moleculares, que es un trabajo de 17 páginas que surgió de una conversación con Michell Besso mientras se tomaban una taza de té, cuando Einstein iba a echarle azucar al té, le preguntó a Besso: ¿crees que el cálculo de las dimensiones de las moléculas de azucar podrían ser una buena tesis de doctorado?. En 1905 escribió cuatro artículos fundamentales sobre la física de pequeña y gran escala. En ellos explicaba el movimiento browniano, el efecto fotoeléctrico y desarrollaba la relatividad especial y la equivalencia masa-energía. El trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico le haría merecedor del Premio Nobel de física en 1921. Estos artículos fueron enviados a la revista Annalen der Physik y son conocidos generalmente como los artículos del Annus Mirabilis (del latín, "Año maravilloso").

En 1908 fue contratado en la Universidad de Berna, Suiza, como profesor y conferenciante (Privatdozent) sin cargas administrativas. Einstein y Mileva tuvieron un nuevo hijo, Eduard, nacido el 28 de julio de 1910. Poco después la familia se mudó a Praga, donde Einstein ocupó una plaza de Professor, el equivalente a Catedrático en la Universidad Alemana de Praga. En esta época trabajó estrechamente con Marcel Grossmann y Otto Stern. También comenzó a llamar al tiempo matemático cuarta dimensión.

En 1914, justo antes de la Primera Guerra Mundial, Einstein se estableció en Berlín y fue escogido miembro de la Academia Prusiana de Ciencias y director del Instituto de Física Káiser Wilhelm. Su pacifismo, sus actividades políticas sionistas y sus orígenes judíos, irritaban a los nacionalistas alemanes. Las teorías de Einstein comenzaron a sufrir una campaña organizada de descrédito.

Su matrimonio tampoco iba bien. El 14 de febrero de 1919 se divorció de Mileva y algunos meses después, el 2 de junio de 1919 se casó con una prima suya, Elsa Loewenthal, apellido de soltera Einstein: Loewenthal era el apellido de su primer marido, Max Loewenthal. Elsa era tres años mayor que Einstein y le había cuidado tras sufrir una crisis nerviosa combinada con problemas del sistema digestivo.

Einstein y Elsa no tuvieron hijos. El destino de la hija de Albert y Mileva, Lieserl, nacida antes de que sus padres se casaran o encontraran trabajo, es desconocido. Algunos piensan que murió en la infancia y otros afirman que fue entregada en adopción. De sus dos hijos el segundo, Eduard, sufría esquizofrenia y fue internado durante largos años muriendo en una institución para el tratamiento de las enfermedades mentales. Albert nunca le visitó.
El primero, Hans Albert, se mudó a California donde llegó a ser profesor universitario aunque con poca interacción con su padre.

Tras la llegada de Adolf Hitler al poder en 1933, las expresiones de odio por Einstein alcanzaron niveles más elevados. Fue acusado por el régimen nacionalsocialista de crear una "Física judía" en contraposición con la "Física alemana" o "Física aria". Algunos físicos nazis, incluyendo físicos tan notables como los premios Nobel de Física Johannes Stark y Philipp Lenard, intentaron desacreditar sus teorías. Los físicos que enseñaban la Teoría de la relatividad como, por ejemplo, Werner Heisenberg, eran incluidos en listas negras políticas. Einstein abandonó Alemania en 1933 con destino a Estados Unidos, donde se instaló en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y se nacionalizó estadounidense en 1940. Durante sus últimos años Einstein trabajó por integrar en una misma teoría las cuatro Fuerzas Fundamentales, tarea aún inconclusa. Se cuenta que cuando Einstein se encontraba en su lecho de muerte segundos antes de morir pronuncio unas palabras en alemán que la enfermera que lo cuidaba en esos momentos, la estadounidense Alberta Roszel no pudo entender y cuando finalmente murió, en su pizarra estaban las ecuaciones aun sin concluir para integrar dichas fuerzas. [cita requerida] Einstein murió en Princeton, New Jersey, el 18 de abril de 1955.

En 1904 Einstein consiguió una posición permanente en la Oficina de Patentes Suiza. En 1905 finalizó su doctorado presentando una tesis titulada Una nueva determinación de las dimensiones moleculares. Ese mismo año escribió cuatro artículos fundamentales sobre la física de pequeña y gran escala. En ellos explicaba el movimiento browniano, el efecto fotoeléctrico y desarrollaba la relatividad especial y la equivalencia masa-energía. El trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico le proporcionaría el Premio Nobel de física en 1921. Estos artículos fueron enviados a la revista "Annalen der Physik" y son conocidos generalmente como los artículos del "Annus Mirabilis" (del Latín: Año extraordinario). La Unión internacional de física pura y aplicada junto con la UNESCO conmemoraron 2005 como el Año mundial de la física [2] celebrando el centenario de publicación de estos trabajos.
Movimiento browniano

El primero de sus artículos de 1905, titulado Sobre el movimiento requerido por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario, cubría sus estudios sobre el movimiento browniano.

El artículo explicaba el fenómeno haciendo uso de las estadísticas del movimiento térmico de los átomos individuales que forman un fluido. El movimiento browniano había desconcertado a la comunidad científica desde su descubrimiento unas décadas atrás. La explicación de Einstein proporcionaba una evidencia experimental incontestable sobre la existencia real de los átomos. El artículo también aportaba un fuerte impulso a la mecánica estadística y a la teoría cinética de los fluidos, dos campos que en aquella época permanecían controvertidos.
Antes de este trabajo los átomos se consideraban un concepto útil en física y química, pero la mayoría de los científicos no se ponían de acuerdo sobre su existencia real. El artículo de Einstein sobre el movimiento atómico entregaba a los experimentalistas un método sencillo para contar átomos mirando a través de un microscopio ordinario.

Wilhelm Ostwald, uno de los líderes de la escuela antiatómica, comunicó a Arnold Sommerfeld que había sido transformado en un creyente en los átomos por la explicación de Einstein del movimiento browniano.

EFECTO FOTOELÉCTRICO

Artículo principal: Efecto fotoeléctrico
El segundo artículo se titulaba Un punto de vista heurístico sobre la producción y transformación de luz. En él Einstein proponía la idea de "quanto" de luz (ahora llamados fotones) y mostraba cómo se podía utilizar este concepto para explicar el efecto fotoeléctrico.
La teoría de los cuantos de luz fue un fuerte indicio de la dualidad onda-corpúsculo y de que los sistemas físicos pueden mostrar tanto propiedades ondulatorias como corpusculares. Este artículo constituyó uno de los pilares básicos de la mecánica cuántica. Una explicación completa del efecto fotoeléctrico solamente pudo ser elaborada cuando la teoría cuántica estuvo más avanzada. Por este trabajo, y por sus contribuciones a la física teórica, Einstein recibió el Premio Nobel de Física de 1921.

Relatividad especial


Una de las fotografías tomadas del eclipse de 1919 durante la expedición de Arthur Eddington, la cual confirmó las predicciones de Einstein acerca de la fuerza o luz gravitacional.
El tercer artículo de Einstein de ese año se titulaba Zur Elektrodynamik bewegter Körper ("Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento"). En este artículo Einstein introducía la teoría de la relatividad especial estudiando el movimiento de los cuerpos y el electromagnetismo en ausencia de la fuerza de interacción gravitatoria.
La relatividad especial resolvía los problemas abiertos por el experimento de Michelson-Morley en el que se había demostrado que las ondas electromagnéticas que forman la luz se movían en ausencia de un medio. La velocidad de la luz es, por lo tanto, constante y no relativa al movimiento. Ya en 1894 George Fitzgerald había estudiado esta cuestión demostrando que el experimento de Michelson-Morley podía ser explicado si los cuerpos se contraen en la dirección de su movimiento. De hecho, algunas de las ecuaciones fundamentales del artículo de Einstein habían sido introducidas anteriormente (1903) por Hendrik Lorentz, físico holandés, dando forma matemática a la conjetura de Fitzgerald.
Esta famosa publicación está cuestionada como trabajo original de Einstein, debido a que en ella omitió citar toda referencia a las ideas o conceptos desarrolladas por estos autores así como los trabajos de Poincaré. En realidad Einstein desarrollaba su teoría de una manera totalmente diferente a estos autores deduciendo hechos experimentales a partir de principios fundamentales y no dando una explicación fenomenológica a observaciones desconcertantes. El mérito de Einstein estaba por lo tanto en explicar lo sucedido en el experimento Michelson-Morley como consecuencia final de una teoría completa y elegante basada en principios fundamentales y no como una explicación ad-hoc o fenomenológica de un fenómeno observado.
Su razonamiento se basó en dos axiomas simples: En el primero reformuló el principio de simultaneidad, introducido por Galileo siglos antes, por el que las leyes de la física deben ser invariantes para todos los observadores que se mueven a velocidades constantes entre ellos, y el segundo, que la velocidad de la luz es constante para cualquier observador. Este segundo axioma, revolucionario, va más allá de las consecuencias previstas por Lorentz o Poincaré que simplemente relataban un mecanismo para explicar el acortamiento de uno de los brazos del experimento de Michelson y Morley. Este postulado implica que si un destello de luz se lanza al cruzarse dos observadores en movimiento relativo, ambos verán alejarse la luz produciendo un círculo perfecto con cada uno de ellos en el centro. Si a ambos lados de los observadores se pusiera un detector, ninguno de los observadores se pondría de acuerdo en qué detector se activó primero (se pierden los conceptos de tiempo absoluto y simultaneidad).
La teoría recibe el nombre de "teoría especial de la relatividad" o "teoría restringida de la relatividad" para distinguirla de la Teoría general de la relatividad, que fue introducida por Einstein en 1915 y en la que se consideran los efectos de la gravedad y la aceleración.
Artículo principal: Equivalencia entre masa y energía
El cuarto artículo de aquel año se titulaba Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? ("¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energía?") y mostraba una deducción de la ecuación de la relatividad que relaciona masa y energía. En este artículo se decía que "la variación de masa de un objeto que emite una energía L es L/V²", donde V era la notación para la velocidad de la luz usada por Einstein en 1905.
Esta ecuación implica que la energía E de un cuerpo en reposo es igual a su masa m multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado:


Muestra cómo una partícula con masa posee un tipo de energía, "energía en reposo", distinta de las clásicas energía cinética y energía potencial. La relación masa - energía se utiliza comúnmente para explicar cómo se produce la energía nuclear; midiendo la masa de núcleos atómicos y dividiendo por el número atómico se puede calcular la energía de enlace atrapada en los núcleos atómicos. Paralelamente, la cantidad de energía producida en la fisión de un núcleo atómico se calcula como la diferencia de masa entre el núcleo inicial y los productos de su desintegración multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado.
Relatividad general
Artículo principal: Teoría General de la Relatividad
En noviembre de 1915 Einstein presentó una serie de conferencias en la Academia de Ciencias de Prusia en las que describió la teoría de la relatividad general. La última de estas charlas concluyó con la presentación de la ecuación que reemplaza a la ley de gravedad de Newton. En esta teoría todos los observadores son considerados equivalentes y no únicamente aquellos que se mueven con una velocidad uniforme. La gravedad no es ya una fuerza o acción a distancia, como era en la gravedad newtoniana, sino una consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo. La teoría proporcionaba las bases para el estudio de la cosmología y permitía comprender características esenciales del Universo, muchas de las cuales no serían descubiertas sino con posterioridad a la muerte de Einstein.
La relatividad general fue obtenida por Einstein a partir de razonamientos matemáticos, experimentos hipotéticos (Gedanken experiment) y rigurosa deducción matemática sin contar realmente con una base experimental. El principio fundamental de la teoría era el denominado principio de equivalencia. A pesar de la abstracción matemática de la teoría, las ecuaciones permitían deducir fenómenos comprobables. En 1919 Arthur Eddington fue capaz de medir, durante un eclipse, la desviación de la luz de una estrella pasando cerca del Sol, una de las predicciones de la relatividad general. Cuando se hizo pública esta confirmación la fama de Einstein se incrementó enormemente y se consideró un paso revolucionario en la física. Desde entonces la teoría se ha verificado en todos y cada uno de los experimentos y verificaciones realizados hasta el momento.
A pesar de su popularidad, o quizás precisamente por ella, la teoría contó con importantes detractores entre la comunidad científica que no podían aceptar una física sin un Sistema de referencia absoluto.
Estadísticas de Bose-Einstein
Artículo principal: Estadística de Bose-Einstein
En 1924 Einstein recibió un artículo de un joven físico indio, Satyendra Nath Bose, describiendo a la luz como un gas de fotones y pidiendo la ayuda de Einstein para su publicación. Einstein se dio cuenta de que el mismo tipo de estadísticas podían aplicarse a grupos de átomos y publicó el artículo, conjuntamente con Bose, en alemán, la lengua más importante en física en la época. Las estadísticas de Bose-Einstein explican el comportamiento de grupos de partículas con spin entero, es decir, que pueden estar en el mismo sitio en un momento dado bosones
Einstein dedicó sus últimos años de trabajo a la búsqueda de un marco unificado de las leyes de la física. A esta teoría la llamaba Teoría de Campo Unificada.
Einstein intentó unificar la formulación de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante un modelo en el que, bajo las condiciones apropiadas, las diferentes fuerzas surgirían como manifestación de una única fuerza. Sus intentos fracasaron ya que las fuerzas nuclear fuerte y débil no se entendieron en un marco común hasta los años 1970, después de numerosos experimentos en física de altas energías y ya pasados quince años desde la muerte de Einstein. Este objetivo sigue siendo perseguido por la moderna física teórica. Los intentos recientes más destacados para alcanzar una teoría de unificación son las teorías de supersimetría y la teoría de cuerdas.
Albert Einstein tuvo siempre una inclinación hacia la política y al compromiso social como científico, interesándose profundamente por las relaciones entre ciencia y sociedad. Fue cofundador del Partido Liberal Democrático alemán. Con el auge del movimiento nacional-socialista en Alemania, Einstein dejó su país y se nacionalizó estadounidense. En plena Segunda Guerra Mundial apoyó una iniciativa de Robert Oppenheimer para iniciar el programa de desarrollo de armas nucleares conocido como Proyecto Manhattan, ya que consideró esta la única forma de amedrentar a los gobiernos alemán y japonés. Pero Einstein siempre quiso que estas armas nucleares no fueran utilizadas.
En mayo de 1949, Monthly Review publicó (en Nueva York) un artículo suyo bajo el título de ¿Por qué el socialismo? en el que reflexiona sobre la historia[3] , las conquistas y las consecuencias de la "anarquía económica de la sociedad capitalista", artículo que hoy sigue teniendo vigencia. Una parte muy citada del mismo habla del papel de los medios privados en relación a las posibilidades democráticas de los países:
El capital privado tiende a concentrarse en pocas manos, en parte debido a la competencia entre los capitalistas, y en parte porque el desarrollo tecnológico y el aumento de la división del trabajo animan la formación de unidades de producción más grandes a expensas de las más pequeñas. El resultado de este proceso es una oligarquía del capital privado cuyo enorme poder no se puede controlar con eficacia incluso en una sociedad organizada políticamente de forma democrática. Esto es así porque los miembros de los cuerpos legislativos son seleccionados por los partidos políticos, financiados en gran parte o influidos de otra manera por los capitalistas privados quienes, para todos los propósitos prácticos, separan al electorado de la legislatura. La consecuencia es que los representantes del pueblo de hecho no protegen suficientemente los intereses de los grupos no privilegiados de la población.

Hay que tener en cuenta que Einstein fue un enardecido activista político muy perseguido durante la caza de brujas del senador anticomunista McCarthy por manifestar opiniones de carácter anti-imperialista, aunque se salvó por aportar grandes avances científicos de los que el gobierno estadounidense se valió para su expansión armamentística.
Originario de una familia judía asimilada abogó por la causa sionista, aunque hasta 1947 se había mostrado más partidario de un estado común entre árabes y judíos. El Estado de Israel se creó en 1948. Cuando Chaim Weizmann, el primer presidente de Israel y viejo amigo de Einstein, murió en 1952, Abba Eban, embajador israelí en EE.UU., le ofreció la presidencia. Einstein rechazó el ofrecimiento diciendo "Estoy profundamente conmovido por el ofrecimiento del Estado de Israel y a la vez tan entristecido que me es imposible aceptarlo". En sus últimos años fue un pacifista convencido y se dedicó al establecimiento de un utópico Gobierno Mundial que permitiría a las naciones trabajar juntas y abolir la guerra. En esta época lanzó el conocido Manifiesto Russell-Einstein que hacía un llamado a los científicos para unirse en favor de la desaparición de las armas nucleares. Este documento sirvió de inspiración para la posterior fundación de las Conferencias Pugwash que en 1995 se hicieron acreedoras del Premio Nobel de la Paz.
Einstein creía en un "Dios que se revela en la armonía de todo lo que existe, no en un Dios que se interesa en el destino y las acciones del hombre". Deseaba conocer "cómo Dios había creado el mundo". En algún momento resumió sus creencias religiosas de la manera siguiente: "Mi religión consiste en una humilde admiración del ilimitado espíritu superior que se revela en los más pequeños detalles que podemos percibir con nuestra frágil y débil mente".
La más bella y profunda emoción que nos es dado sentir es la sensación de lo místico. Ella es la que genera toda verdadera ciencia. El hombre que desconoce esa emoción, que es incapaz de maravillarse y sentir el encanto y el asombro, esta prácticamente muerto. Saber que aquello que para nosotros es impenetrable realmente existe, que se manifiesta como la más alta sabiduría y la mas radiante belleza, sobre la cual nuestras embotadas facultades solo pueden comprender en sus formas mas primitivas. Ese conocimiento, esa sensación, es la verdadera religión.
En cierta ocasión, en una reunión, se le preguntó a Einstein si creía o no en un Dios a lo que respondió: "Creo en el Dios de Spinoza, que es idéntico al orden matemático del Universo".
Una cita más larga de Einstein aparece en Science, Philosophy, and Religion, A Symposium (Simposio de ciencia, filosofía y religión), publicado por la Conferencia de Ciencia, Filosofía y Religión en su Relación con la Forma de Vida Democrática:
Cuanto más imbuido esté un hombre en la ordenada regularidad de los eventos, más firme será su convicción de que no hay lugar —del lado de esta ordenada regularidad— para una causa de naturaleza distinta. Para ese hombre, ni las reglas humanas ni las "reglas divinas" existirán como causas independientes de los eventos naturales. De seguro, la ciencia nunca podrá refutar la doctrina de un Dios que interfiere en eventos naturales, porque esa doctrina puede siempre refugiarse en que el conocimiento científico no puede posar el pie en ese tema. Pero estoy convencido de que tal comportamiento de parte de las personas religiosas no solamente es inadecuado sino también fatal. Una doctrina que se mantiene no en la luz clara sino en la oscuridad, que ya ha causado un daño incalculable al progreso humano, necesariamente perderá su efecto en la humanidad. En su lucha por el bien ético, las personas religiosas deberían renunciar a la doctrina de la existencia de Dios, esto es, renunciar a la fuente del miedo y la esperanza, que en el pasado puso un gran poder en manos de los sacerdotes. En su labor, deben apoyarse en aquellas fuerzas que son capaces de cultivar el bien, la verdad y la belleza en la misma humanidad. Esto es de seguro, una tarea más difícil pero incomparablemente más meritoria y admirable.
En una carta fechada en marzo de 1954, que fue incluida en el libro Albert Einstein: su lado humano (en inglés), editado por Helen Dukas y Banesh Hoffman y publicada por Princeton University Press, Einstein dice:
Por supuesto era una mentira lo que se ha leído acerca de mis convicciones religiosas; una mentira que es repetida sistemáticamente. No creo en un Dios personal y no lo he negado nunca sino que lo he expresado claramente. Si hay algo en mí que pueda ser llamado religioso es la ilimitada admiración por la estructura del mundo, hasta donde nuestra ciencia puede revelarla. [...] No creo en la inmortalidad del individuo, y considero que la ética es de interés exclusivamente humano, sin ninguna autoridad sobrehumana sobre él.

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